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第 1 幕
一个你天天说、却算不出来的量
仪表盘显示 60 km/h。这是这一瞬间的速度。
可速度的定义是 路程 ÷ 时间。要算"这一瞬间"的，时间就得取 0——
v = Δs / Δt = 0 / 0
取两个时刻能算平均速度；可"某一时刻"呢？
在极限被发明出来之前，"某一瞬间的速度"这句话在数学上是不合法的。
它不是难算，是没有定义。
牛顿和莱布尼茨真正干的事，就是把这句话变成合法的。
第 2 幕
只能退一步：先算一小段的平均
取一小段时间 Δt，算 Δs / Δt。这是平均速度，几何上就是那条割线的斜率。
Δt 越小，这个平均值越贴近"那一瞬间"。拖动滑块，把 Δt 一路压向 0：
读数一路奔向 2，可 Δt 一旦真取 0，式子立刻变成 0/0 没法算。
这正是第一页那句话：到不了那个点，但可以从周围推断它。
六页之前造的那把锤子，第一次真正砸下去。
为什么不能直接令 Δt = 0，非要绕一圈说"极限"？
因为 Δt = 0 时分子分母同时是 0，那个式子根本不存在——不是等于某个数，是没有定义。
极限的全部作用就是：不进去，从周围推断中心。这句话你在第一页就见过了。
第 3 幕
把这个动作写下来，就是导数
f′(x₀) ＝
limΔx→0
f(x₀+Δx) − f(x₀)
Δx
- 分子 Δy 函数值的变化量 —— 一个无穷小
- 分母 Δx 自变量的变化量 —— 另一个无穷小
- 外面那个 lim 把这两个无穷小的比值，取极限
看清楚这三层，这个式子就不再是一串符号了。它在说一件很朴素的事：
导数 = 两个无穷小之比的极限。
分子分母都在奔向 0，而它们的比奔向一个确定的数——这个数就是导数。
还记得第四页那句话吗："两个无穷小，比一比才知道谁快"。
导数干的正是这件事——只不过这一次，比的是 Δy 和 Δx。
第 4 幕
前六页的账，在这里一次结清
这个定义看着简单，其实前面六页每一页都埋在里面。逐条对一遍：
- 左右极限Δx 可以从左边来，也可以从右边来。两边报回同一个数，才叫可导 → 左导数 = 右导数
- 间断点分类断掉的地方连切线都画不出来 → 不连续 ⇒ 一定不可导
- 无穷小与无穷大Δy、Δx 都是无穷小；如果这个比值奔向 ∞ → 切线竖起来了，不可导
- 无穷小的比较比值有没有极限，问的就是 Δy 和 Δx 是不是同阶
- 两个重要极限用定义算 (sin x)′ 时，最后一步落在 lim sin x / x = 1 上——不还这笔账，正弦的导数就求不出来
- 闭区间上的连续函数下一节的中值定理，全部建在闭区间 + 连续那六个字上（预告）
前六页不是六个孤立知识点。
它们是同一件工具的六个零件，装到这里，第一次转起来。
如果 Δy / Δx 的极限是 ∞，那这一点算可导吗？
不可导。第三页的规矩还管着：lim = ∞ 意味着极限不存在，导数当然也就不存在。
几何上这时切线是竖直的（斜率无意义）——作业第 4 题就是这种。
第 5 幕
又是那两队人马：尖点为什么不可导
f(x) = |x| 在 x = 0 处。它连续——笔不用抬。但是：
从左边逼近，割线斜率恒为 −1；从右边逼近，恒为 +1
左边那队报回 −1，右边那队报回 +1。两个数不一样——
左导数 ≠ 右导数，所以不可导。
这是第一页那条判据在整套教材里的第二次真正出场。
一模一样的两队人马，只不过这次报的是变化率。
第 6 幕
崩坏测试：可导比连续更苛刻
两个概念的强弱关系，一句话说清：
可导 ⇒ 连续。反过来不成立。
下面三张图，都是"连续但不可导"或"根本谈不上可导"的样本：
尖点
连续，但左右斜率不一样
竖直切线
连续，但比值奔向 ∞
跳跃
连都不连，更别谈可导
用一句话记住这两个概念的差别：
连续是"笔不抬"；可导是"笔不抬，而且不许拐急弯"。
"可导 ⇒ 连续"要怎么想？给一个一句话的思路。
把 Δy 拆成 (Δy/Δx) · Δx。
可导意味着括号里那个奔向一个有限的数 A，而 Δx 本身是无穷小——
有限数 × 无穷小 = 无穷小（第三页第 ③ 条脾气），所以 Δy → 0，这正是连续的定义。
第 7 幕
顺手纠一个中学留下的错
中学说：切线就是"和曲线只交于一点"的直线。这句话是错的，而且错得很有代表性。
y = x³ 在原点的切线是 x 轴——可它还穿过曲线
反例一 y = x³ 在原点：切线（x 轴）不但碰到曲线，还穿了过去。
反例二 一条竖直线和抛物线也只交一点，可它根本不是切线。
正确的定义只有一个：切线是割线的极限位置。
——也就是你在第 2 幕亲手拖出来的那条线。
"只交一点"是长相，"割线的极限"是机制。
中学教长相，大学教机制——这一节的分界线就在这儿。
圆的切线确实"只碰一点"。那为什么这个说法用到一般曲线上就不行了？
因为圆太规矩，"只碰一点"在圆上恰好和"割线的极限"重合，于是被误当成了定义。
换成 y = x³，两者立刻分家：切线穿过了曲线。
在一个特例上成立的描述，不能当定义用——这件事本身，比切线更值得记住。
第 8 幕
整节话，就这两行
导数 = 两个无穷小之比的极限。
左右两侧报回同一个数，才叫可导。
它有两张脸，是同一个极限的两种读法：物理上是瞬时变化率，几何上是切线斜率。
今 天 的 任 务
八道，全部用定义做
前五道不许用求导公式——这一页要练的就是那个极限式子本身。写出完整的 lim，别跳步。
- 用定义求 f(x) = x² 在 x = 1 处的导数和第 2 幕那个滑块核一下，答案应该是同一个数
- 用定义求 f(x) = 1/x 在 x = 2 处的导数通分之后再约，别急着代 0
- ⚠️ f(x) = |x| 在 x = 0：分别求左导数和右导数两个都要写出极限式。写完自己判可不可导
- ⚠️ f(x) = x1/3 在 x = 0：算那个极限，说说发生了什么算出来的东西不是一个数。它意味着什么？画一下图
- 用定义 + 第五页的 lim sin x / x = 1，求 (sin x)′提示：先用和差化积把分子拆开。这题是那笔账的最终结算
- ⚠️ 判断：f 在 x₀ 连续，就一定可导吗？举反例反例不止一个。至少给出两种长得不一样的
- ⚠️ 判断：f 在 x₀ 可导，就一定连续吗？写出思路把 Δy 拆成 (Δy/Δx)·Δx，然后用第三页那条脾气
- 一辆车 s(t) = t³ − 3t（米、秒）。求 t = 2 时的瞬时速度；再问 t 取何值时速度为 0第二问就是下一节的全部内容——你已经能做了
第 6、7 两题是一对，方向相反，千万别只做一道。
能同时说清"连续不一定可导"和"可导一定连续"的人，才算真的分得开这两个概念——这两个概念混在一起，后面整章都会晃。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是没写成极限式就代数、忘了检查左右两侧、把可导和连续搞反了，还是纯算错？