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第 1 幕
都是无穷小，本事差得远
看 x → 0 时的三个无穷小：x、x²、x³。都奔向 0，可奔的架势完全不同。
越靠近 0，图上越看不出区别——先别急，往下看那张表
| x 走到 | x | x² | x³ |
|---|
| 0.1 | 0.1 | 0.01 | 0.001 |
| 0.01 | 0.01 | 0.0001 | 0.000001 |
| 0.001 | 0.001 | 0.000001 | 0.000000001 |
表里就清楚了：x 缩到 1/10 时，x² 缩到 1/100，x³ 缩到 1/1000。差距不但在，还越拉越大。
而图上却是三条越挤越紧——这不是图画错了，是"绝对值"这个视角本身没有分辨率。越靠近 0，三个数都小得看不见，谁快谁慢全糊在一起。
光说"它们都是无穷小"，等于说"这三个人都在往南走"——一句没提谁跑得快。
这一节要造的，就是那把秒表。
第 2 幕
比快慢：要用除法，不能用减法
先问一句：为什么不拿 α − β 来比？
因为两个无穷小相减还是无穷小，x − x² 奔 0，x − x³ 也奔 0——全是 0，什么也没告诉你。减法在这里没有分辨率。
除法才有。 x² / x = x → 0；反过来 x / x² = 1/x → ∞。商往哪儿跑，一目了然。
看 lim α/β 落到哪一格，名字就定了
拖动滑块，让 x 一步步逼近 0，看四个商各自往哪跑：
x² / x高阶
x / x²低阶
3x / x同阶
sin x / x等价
商奔 0 → α 是 β 的高阶无穷小（α 跑得更快）
商奔 ∞ → 低阶（α 跑得更慢）
商奔一个非零常数 c → 同阶
商奔 1 → 等价，记作 α ~ β
⚠️ 老规矩还在：比较必须在同一个过程里。脱离"x → 谁"谈高阶低阶，没有意义。
为什么比无穷小要用除法，不用减法？
因为两个无穷小相减还是无穷小，x−x²、x−x³ 全奔 0，减法没有分辨率。
除法才有：x²/x → 0，x/x² → ∞，一眼分出快慢。
第 3 幕
"高阶"的正式含义，就是"可以扔"
记号 α = o(β)，读作"α 是 β 的高阶无穷小"。白话：在 β 面前，α 不值一提。
为什么"不值一提"？不是因为它小——是因为它占的比例在消失。看 x + x² 里那个零头 x² 占多大份额：
零头 x² 在总量 x + x² 里占的比例，一路塌向 0
"可以忽略"不是因为它小，是因为它占的比例在消失。
这就是上一页单摆那笔账的正式结算：sin θ − θ = o(θ)，所以把 sin θ 换成 θ 是合法的，不是耍赖。
⚠️ o(β) 不是某一个确定的函数，是"一类函数"的代号。x² = o(x) 对，x³ = o(x) 也对。所以 o(x) − o(x) = 0 是错的。
高阶无穷小「可以忽略」，真正的理由是什么？
不是因为它小，是因为它占的比例在消失。
x² 在 x+x² 里的份额一路塌向 0——这才是「不值一提」的准确含义。
第 4 幕
"阶"：把快慢压成一个数字
如果 lim α / βk = c ≠ 0，就说 α 是关于 β 的 k 阶无穷小。x → 0 时：
| 无穷小 | 等价于 | 阶 |
|---|
| sin x | x | 1 阶 |
| 1 − cos x | x² / 2 | 2 阶 |
| tan x − sin x | x³ / 2 | 3 阶 |
这个数字在工程上直接换算成钱和时间。数值方法的误差是 O(hp)，p 就是阶。把步长 h 减半一次，误差变成原来的 1/2p：
横轴是对数刻度，每格差 10 倍
同样把步长砍到 1/16，一阶方法误差只降到 1/16，四阶方法降到 1/65536。
差了四千倍——这就是"几阶"三个字的价钱。
第 5 幕
等价无穷小：一张可以直接用的表
x → 0 时，下面每一对在原点附近都几乎是同一条线：
sin x ~ x
tan x ~ x
1 − cos x ~ x²/2
ln(1+x) ~ x
ex − 1 ~ x
(1+x)a − 1 ~ ax
怎么用：求极限时，把乘除的因子整个换成它的等价物。
例 limx→0 (sin 3x) / (tan 5x) → 把分子换成 3x，分母换成 5x → 3/5。
一步到位，不用洛必达。
注意 arcsin x ~ x、arctan x ~ x 也在这张表里，一共八条，值得默写下来。
等价替换能用在哪儿，不能用在哪儿？先写下你的答案，再往下翻。
只能整个因子地换（乘、除），不能在加减里换掉其中一项。
如果你刚才答的是「哪儿都能换」——下一幕就是专门给你准备的。
第 6 幕
⚠️ 这一页的支点：加减法里不能换
这是全章最贵的一个坑，几乎人人踩。看这道题：
limx→0 (tan x − sin x) / x³
错解 tan x ~ x，sin x ~ x，代进去 → (x − x)/x³ = 0/x³ = 0。
看起来天衣无缝。
可它是错的。不用讲道理，直接拿计算器算：
| x | tan x − sin x | ÷ x³ |
|---|
| 0.1 | 0.00050125 | 0.501250 |
| 0.01 | 0.00000050 | 0.500013 |
| 0.001 | 0.00000000050 | 0.500000 |
它明明白白奔向 0.5，不是 0
错在哪？tan x 和 sin x 的主要部分是同一个 x。一减，主部当场抵消，剩下的全是你刚才随手扔掉的那部分。
你扔掉的，恰恰就是答案。
正解 先把减法变成乘法：
tan x − sin x = sin x · (1/cos x − 1) = sin x · (1 − cos x)/cos x
现在全是乘除因子，可以放心换：~ x · (x²/2) / 1 = x³/2 → 答案 1/2 ✓
规矩就一条：
等价无穷小只能整个因子地换（乘、除），不能在加减里换掉其中一项。
因为加减可能把主部抵消掉，而你替换时丢掉的，正是下一级的信息。
第 7 幕
第二个崩坏测试：不是什么都能比
学到这里很容易生出一个错觉：任意两个无穷小，总能比出个高下。不能。
拿 x 和 x · sin(1/x) 比（x → 0，两个都是无穷小）。商是：
x·sin(1/x) / x = sin(1/x)
这个商在 −1 和 1 之间永远抖下去，没有极限
商的极限不存在——既不是 0，不是 ∞，也不是任何常数。所以这两个无穷小高阶、低阶、同阶、等价，一个都轮不上：它们不可比。
能比出阶，是运气，不是权利。
判断之前先问一句：那个商，真的有极限吗？
任意两个无穷小，总能比出个高下吗？
不能。x 与 x·sin(1/x) 的商是 sin(1/x)，没有极限，四个格子一个都轮不上。
套名字之前先问一句：那个商，真的有极限吗？
第 8 幕
整节话，就这三行
比无穷小，用除法看商奔向哪。
商 → 0 / ∞ / c / 1，对应高阶 / 低阶 / 同阶 / 等价。
等价替换只能在乘除里用，加减里换必错。
今 天 的 任 务
八道，前四道热身，后四道见真章
每道都要写清楚：在哪个过程里、你算的是哪个商。
- x → 0，比较 x² 与 3x谁是谁的高阶？先写出你要算的那个商
- x → 0，1 − cos x 是 x 的几阶无穷小试着除以 x、x²、x³，看哪个商落在非零常数上
- limx→0 (sin 3x)/(tan 5x)纯乘除，放心换
- limx→0 (1 − cos x)/x²答案不是 1
- ⚠️ limx→0 (tan x − sin x)/x³先用错误方法算一遍，写下那个错答案；再拿计算器代 x=0.01 验一下。两个数对不上的时候，你才会真的记住这条规矩
- ⚠️ x → 0，判断 x 与 x·sin(1/x) 能不能比较阶别急着套四个名字。先问商有没有极限
- ⚠️ x → ∞ 时，1/x 与 1/x² 谁是高阶？过程变了。别背结论，老老实实算那个商
- 某算法误差是 O(h²)，步长从 0.1 降到 0.025，误差大约变成原来的几分之一？这题不用高数，用第 4 幕。答不上来说明那一幕白看了
第 5 题必须把错答案也写在纸上，不许跳过。只看到正确解法的人记不住这条规矩；亲手算出 0、又亲眼看到 0.5 的人，一辈子忘不掉。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是忘了带过程、在加减里做了替换、没验商是否存在，还是纯算错？
四种错，四种药。