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第 1 幕
都是无穷小，本事差得远
看 x → 0 时的三个无穷小：x 、x² 、x³ 。都奔向 0，可奔的架势完全不同。
越靠近 0，图上越看不出区别——先别急，往下看那张表
x 走到 x x² x³ 0.1 0.1 0.01 0.001 0.01 0.01 0.0001 0.000001 0.001 0.001 0.000001 0.000000001
表里就清楚了：x 缩到 1/10 时，x² 缩到 1/100，x³ 缩到 1/1000 。差距不但在，还越拉越大。
而图上却是三条越挤越紧——这不是图画错了，是「绝对值」这个视角本身没有分辨率。 越靠近 0，三个数都小得看不见，谁快谁慢全糊在一起。
光说「它们都是无穷小」，等于说「这三个人都在往南走」——一句没提谁跑得快。
第 2 幕
比快慢：要用除法，不能用减法
先问一句：为什么不拿 α − β 来比？
因为两个无穷小相减还是无穷小，x − x² 奔 0，x − x³ 也奔 0——全是 0，什么也没告诉你 。减法在这里没有分辨率。
除法才有。 x² / x = x → 0 ；反过来 x / x² = 1/x → ∞ 。商往哪儿跑，一目了然。
看 lim α/β 落到哪一格，名字就定了
拖动滑块，让 x 一步步逼近 0，看四个商各自往哪跑：
x² / x 高阶
x / x² 低阶
3x / x 同阶
sin x / x 等价
商奔 0 → α 是 β 的高阶 无穷小（α 跑得更快）商奔 ∞ → 低阶 （α 跑得更慢）商奔一个非零常数 c → 同阶 商奔 1 → 等价 ，记作 α ~ β
⚠️ 老规矩还在：比较必须在同一个过程里 。脱离「x → 谁」谈高阶低阶，没有意义。
为什么比无穷小要用除法 ，不用减法？
因为两个无穷小相减还是无穷小，x−x²、x−x³ 全奔 0，减法没有分辨率 。
第 3 幕
「高阶」的正式含义，就是「可以扔」
记号 α = o(β) ，读作「α 是 β 的高阶无穷小」。白话：在 β 面前，α 不值一提。
为什么「不值一提」？不是因为它小——是因为它占的比例在消失 。看 x + x² 里那个零头 x² 占多大份额：
零头 x² 在总量 x + x² 里占的比例，一路塌向 0
「可以忽略」不是因为它小，是因为它占的比例在消失。 sin θ − θ = o(θ) ，所以把 sin θ 换成 θ 是合法的 ，不是耍赖。
⚠️ o(β) 不是某一个确定的函数 ，是「一类函数」的代号。x² = o(x) 对，x³ = o(x) 也对。所以 o(x) − o(x) = 0 是错的。
高阶无穷小「可以忽略」，真正的理由是什么？
不是因为它小，是因为它占的比例在消失。
第 4 幕
「阶」：把快慢压成一个数字
如果 lim α / βk = c ≠ 0 ，就说 α 是关于 β 的 k 阶 无穷小。x → 0 时：
无穷小 等价于 阶 sin x x 1 阶 1 − cos x x² / 2 2 阶 tan x − sin x x³ / 2 3 阶
这个数字在工程上直接换算成钱和时间。 数值方法的误差是 O(hp ) ，p 就是阶。把步长 h 减半一次，误差变成原来的 1/2p ：
横轴是对数刻度，每格差 10 倍
同样把步长砍到 1/16，一阶方法误差只降到 1/16，四阶方法降到 1/65536 。
第 5 幕
等价无穷小：一张可以直接用的表
x → 0 时，下面每一对在原点附近都几乎是同一条线：
sin x ~ x tan x ~ x 1 − cos x ~ x²/2 ln(1+x) ~ x ex − 1 ~ x (1+x)a − 1 ~ ax
怎么用： 求极限时，把乘除的因子整个换成它的等价物。
例 limx→0 (sin 3x) / (tan 5x) → 把分子换成 3x ，分母换成 5x → 3/5 。
注意 arcsin x ~ x 、arctan x ~ x 也在这张表里，一共八条，值得默写下来。
等价替换能用在哪儿，不能用在哪儿？先写下你的答案，再往下翻。
只能整个因子 地换（乘、除），不能在加减里换掉其中一项 。
第 6 幕
⚠️ 这一页的支点：加减法里不能换
这是全章最贵的一个坑，几乎人人踩。看这道题：
limx→0 (tan x − sin x) / x³
错解 tan x ~ x，sin x ~ x，代进去 → (x − x)/x³ = 0/x³ = 0 。
可它是错的。 不用讲道理，直接拿计算器算：
x tan x − sin x ÷ x³ 0.1 0.00050125 0.501250 0.01 0.00000050 0.500013 0.001 0.00000000050 0.500000
它明明白白奔向 0.5 ，不是 0
错在哪？ tan x 和 sin x 的主要部分是同一个 x 。一减，主部当场抵消，剩下的全是你刚才随手扔掉的那部分 。
你扔掉的，恰恰就是答案。
正解 先把减法变成乘法：tan x − sin x = sin x · (1/cos x − 1) = sin x · (1 − cos x)/cos x ~ x · (x²/2) / 1 = x³/2 → 答案 1/2 ✓
规矩就一条：等价无穷小只能整个因子地换（乘、除），不能在加减里换掉其中一项。
第 7 幕
第二个崩坏测试：不是什么都能比
学到这里很容易生出一个错觉：任意两个无穷小，总能比出个高下。 不能。
拿 x 和 x · sin(1/x) 比（x → 0 ，两个都是无穷小）。商是：
x·sin(1/x) / x = sin(1/x)
这个商在 −1 和 1 之间永远抖下去，没有极限
商的极限不存在——既不是 0，不是 ∞，也不是任何常数。所以这两个无穷小高阶、低阶、同阶、等价，一个都轮不上 ：它们不可比 。
能比出阶，是运气 ，不是权利。那个商，真的有极限吗？
任意两个无穷小，总能比出个高下吗？
不能。 x 与 x·sin(1/x) 的商是 sin(1/x)，没有极限，四个格子一个都轮不上。那个商，真的有极限吗？
第 8 幕
整节话，就这三行
比无穷小，用除法 看商奔向哪。高阶 / 低阶 / 同阶 / 等价 。只能在乘除里用 ，加减里换必错。
今 天 的 任 务
八道，前四道热身，后四道见真章
每道都要写清楚：在哪个过程里 、你算的是哪个商 。
x → 0 ，比较 x² 与 3x 谁是谁的高阶？先写出你要算的那个商 x → 0 ，1 − cos x 是 x 的几阶无穷小试着除以 x、x²、x³，看哪个商落在非零常数上 limx→0 (sin 3x)/(tan 5x) 纯乘除，放心换 limx→0 (1 − cos x)/x² 答案不是 1 ⚠️ limx→0 (tan x − sin x)/x³ 先用错误方法算一遍，写下那个错答案 ；再拿计算器代 x=0.01 验一下。两个数对不上的时候，你才会真的记住这条规矩
⚠️ x → 0 ，判断 x 与 x·sin(1/x) 能不能比较阶别急着套四个名字。先问商有没有极限
⚠️ x → ∞ 时，1/x 与 1/x² 谁是高阶？过程变了。别背结论，老老实实算那个商
某算法误差是 O(h²) ，步长从 0.1 降到 0.025，误差大约变成原来的几分之一？这题不用高数，用第 4 幕。答不上来说明那一幕白看了
第 5 题必须把错答案也写在纸上 ，不许跳过。只看到正确解法的人记不住这条规矩；亲手算出 0、又亲眼看到 0.5 的人，一辈子忘不掉。
对完答案，每道错题旁只写一句：忘了带过程 、在加减里做了替换 、没验商是否存在 ，还是纯算错 ？
课 本 习 题 · 1 - 7
同济第八版 P53 的六道原题，逐题给解
上面八道是我给的 ，练的是这一页的三条规矩。课本自己的 ——先在纸上做完，再点开对答案 。
⚠️ 第 5(3) 题请留意 ：它就是本页第 6 幕那个支点。
课本把这个坑埋在了习题里，正文一句没提 ——所以做到那道题时错了的人，
往往到考场上还在错。
第 1 题 当 x → 0 时，2x − x² 与 x² − x³ 相比，哪一个是高阶无穷小？
① 按第 2 幕的规矩：比快慢用除法，而且要说清算的是哪个商。
② 先各自定阶 （提公因子最省事）：2x − x² = x(2 − x) ，而 2 − x → 2 ，所以它和 x 同阶 —— 一阶 ；x² − x³ = x²(1 − x) ，而 1 − x → 1 ，所以它和 x² 同阶 —— 二阶 。
③ 算商 ：limx→0 (x² − x³)/(2x − x²) = limx→0 x(1 − x)/(2 − x) = 0/2 = 0
④ 商 → 0 ，落在第 2 幕四分判据图的第一格：分子是分母的高阶无穷小。
答：x² − x³ 是 2x − x² 的高阶无穷小（它消失得更快）。
⚠️ 结论必须写成「A 是 B 的 高阶无穷小」。不完整的 ——高阶是两者之间 的关系，不是某个函数自带的属性。
第 2 题 当 x → 0 时，(1 − cos x)² 与 sin²x 相比，哪一个是高阶无穷小？
① 查第 5 幕那张表 ：1 − cos x ~ x²/2 ，sin x ~ x 。
② 定阶 ：(1 − cos x)² ~ (x²/2)² = x⁴/4 —— 四阶 ；sin²x ~ x² —— 二阶 。
③ 算商 ：limx→0 (1 − cos x)²/sin²x = limx→0 (x⁴/4)/x² = limx→0 x²/4 = 0
答：(1 − cos x)² 是高阶无穷小。
⚠️ 这里为什么可以放心替换？因为整个式子是乘除（平方就是自乘），没有加减。 加减法里替换 ，不是禁止替换本身。四阶 vs 二阶，差了整整两阶 ，所以商奔 0 奔得非常干脆。
第 3 题 当 x → 1 时，无穷小 1 − x 和 (1) 1 − x³ 、(2) ½(1 − x²) 是否同阶？是否等价？
⚠️ 先看清过程：这道题是 x → 1，不是 x → 0。 x → 1 时 1 − x → 0 ，它确实是无穷小 —— 无穷小从来不是「很小的数」，是「在某个过程里奔向 0 的函数」 。
(1) 因式分解：1 − x³ = (1 − x)(1 + x + x²) limx→1 (1 − x³)/(1 − x) = limx→1 (1 + x + x²) = 3 非零常数 3 上 → 同阶 ；但它不等于 1 → 不等价 。
(2) 同样分解：½(1 − x²) = ½(1 − x)(1 + x) limx→1 ½(1 − x²)/(1 − x) = limx→1 ½(1 + x) = 1 1 → 同阶，而且等价 。
答：(1) 同阶，不等价； (2) 同阶，且等价。
⚠️ 这道题把两个词的差别钉死了：同阶 只要求商落在某个非零常数 上；等价 要求那个常数恰好是 1 。
第 4 题 证明：当 x → 0 时，(1) arctan x ~ x ；(2) sec x − 1 ~ x²/2
证等价，就是证那个商的极限等于 1 ——按定义做，不用别的。
(1) 令 t = arctan x ，则 x = tan t ；arctan 与 tan 互为反函数且在原点附近连续，所以 x → 0 等价于 t → 0 。limx→0 arctan x / x = limt→0 t / tan t = 1 （用第 5 幕表里的 tan t ~ t ）arctan x ~ x 。
(2) 先把 sec 写回去：sec x − 1 = 1/cos x − 1 = (1 − cos x)/cos x limx→0 (sec x − 1)/(x²/2) = limx→0 [(1 − cos x)/(x²/2)] · [1/cos x] = 1 · 1 = 1 1 − cos x ~ x²/2 ，后一个用 cos x → 1 ）sec x − 1 ~ x²/2 。
两问都归结为一件事：把商写出来，让它奔向 1 。
⚠️ 第 (1) 问那个换元值得记：遇到反三角，就把它设成新变量、把原变量用三角函数表示 。arcsin x ~ x 也是这么证的，一模一样。
第 5 题 利用等价无穷小的性质，求下列极限：limx→0 tan 3x / (2x)
(2) limx→0 sin(xⁿ) / (sin x)ᵐ （n, m 为正整数）limx→0 (tan x − sin x) / sin³x
(4) limx→0 (sin x − tan x) / [(∛(1+x²) − 1)(√(1+sin x) − 1)]
(1) 纯乘除，放心换：tan 3x ~ 3x 原式 = limx→0 3x/(2x) = 3/2
(1) 答：3/2
(2) sin(xⁿ) ~ xⁿ ，(sin x)ᵐ ~ xᵐ （都是乘除位置）原式 = limx→0 xn−m ，结果取决于 n 与 m 谁大 ：
n > m ：极限 = 0 n = m ：极限 = 1 n < m ：极限不存在 （趋于 ∞）
⚠️ 这道题的分必须拿在「分三种情形」上。 只写一个答案就是没做完——n、m 是任意正整数，不同的取值给出完全不同的结论 。
(3) ⚠️ 这就是本页第 6 幕那个支点，换了个分母。
先看错解 （务必先在纸上写一遍）：tan x ~ x 、sin x ~ x ，分子 → x − x = 0 ，于是答案 0 。这是错的。 分子是减法 ，两个主部恰好抵消，剩下的全是被你扔掉的高阶部分。
正解：先化成乘积，再换。 tan x − sin x = sin x (1/cos x − 1) = sin x (1 − cos x)/cos x ~ x · (x²/2) / 1 = x³/2 ；分母 sin³x ~ x³ 原式 = limx→0 (x³/2)/x³ = 1/2
(3) 答：1/2 （不是 0）
⚠️ 拿计算器代 x = 0.01 验一下：真值约 0.5000 ，不是 0。这一步别省 ——亲眼看到 0 与 0.5 对不上的人，才会真的记住「加减里不能换」。
(4) 分子分母各自化成乘积再换。
分子 ：sin x − tan x = −(tan x − sin x) ~ −x³/2 （直接用上一小题的结果）
分母 ：用第 5 幕表最后一行 (1+u)α − 1 ~ αu ∛(1+x²) − 1 ~ (1/3)x² = x²/3 √(1+sin x) − 1 ~ (1/2) sin x ~ x/2 ~ (x²/3)(x/2) = x³/6
原式 = limx→0 (−x³/2)/(x³/6) = −3
(4) 答：−3
⚠️ 负号别丢。 这道题的分子是 sin x − tan x ，
和 (3) 的 tan x − sin x 顺序正好相反 ——课本这么排就是在等你丢符号。
第 6 题 证明无穷小的等价关系具有下列性质：(1) α ~ α （自反性）；(2) 若 α ~ β ，则 β ~ α （对称性）；(3) 若 α ~ β, β ~ γ ，则 α ~ γ （传递性）
把定义摆出来 ：在同一个过程下，α ~ β 的意思就是 lim α/β = 1 。
(1) 自反性 ：lim α/α = lim 1 = 1 ，故 α ~ α 。
(2) 对称性 ：已知 lim α/β = 1 。存在且不为 0 ，可以用商法则取倒数：lim β/α = 1 / lim(α/β) = 1/1 = 1 ，故 β ~ α 。
(3) 传递性 ：α/γ = (α/β)·(β/γ) ，两个因子的极限都存在（都是 1），用积法则：lim α/γ = lim(α/β) · lim(β/γ) = 1 · 1 = 1 ，故 α ~ γ 。
三条都成立，所以「等价」是一个真正的等价关系 。
⚠️ (2) 那一步的前提别跳过。 商法则要求分母的极限不为 0 ；换成「同阶但常数是 0」就用不了了 ——而那种情况根本不叫同阶。这三条性质就是「等价无穷小表」能当工具书查的底气 ：查到 sin x ~ x ，
就可以反过来用 x ~ sin x ，还能一路传递下去。
六道做完，回头看第 5(3) 题：课本把这一页最大的坑，安安静静放在了习题的第三小问里。 能不能自己发现前提被越界了，就是这一节真正的分水岭。