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第 1 幕
你手上的工具，只会验钞，不会印钞
回想一下极限的定义在干什么：给你一个候选答案 A，它告诉你怎么验证 A 对不对。
可问题是——A 从哪儿来？
sin x / x 在 x=0 处是 0/0，图上像是奔着 1 去
「图上看着像 1」——这不是证明，这是猜。ε-δ 只能在你猜对之后替你背书，它自己一个答案也生不出来 。
我们缺的不是验证工具，是生产工具 。
ε-δ 定义能帮你找到 极限的值吗？
不能。 它只能在你已经拿出一个候选答案 A 之后，验证 A 对不对。
第 2 幕
第一台机器：夹逼
道理蠢得可爱：如果你不知道它去哪儿，就给它派两个保镖。
只要两个保镖始终一左一右夹住它，而两个保镖奔向同一个地方 ，那它就没得选了——只能跟着去那儿。
中间那条随便怎么抖，两条边一收口，它就被逼到 1 上
1 在某个邻域里，确实夹得住：l(x) ≤ f(x) ≤ u(x) 2 两个保镖各自的极限都存在 3 这两个极限相等
⚠️ 崩坏测试：如果两个保镖奔向不同 的数，会怎样？−1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 确实夹得住，但两边一个 −1 一个 1 —— 夹了等于没夹。第 3 条不是摆设。
夹逼的三个条件，缺哪个都不成立。第三个是什么？为什么不能少？
第三个是两个保镖的极限必须相等 。
第 3 幕
用它把 sin x / x 造出来
保镖从哪儿找？画一个单位圆 。取 0 < x < π/2 ，圆上就有三块图形，一块套着一块：
小三角形 ⊂ 扇形 ⊂ 大三角形 —— 面积必然一个比一个大
小三角形 ½·sin x
扇 形 ½·x
大三角形 ½·tan x
把 x 往小里拖：三块面积迅速靠拢，中间那块被上下两块越挤越紧 。
把三块面积按大小排队，公因子 1/2 一约，得到：
sin x < x < tan x
除以 sin x 1 < x / sin x < 1 / cos x
全部取倒数 cos x < sin x / x < 1
保镖登场 左边 cos x → 1 ，右边就是常数 1
夹逼收网 limx→0 sin x / x = 1
还有半步。上面只证了 x > 0 的一侧。sin x / x 是偶函数 ——把 x 换成 −x，值一模一样。所以左极限＝右极限，双侧极限这才成立 。
这就是全套流程：造保镖 → 夹住 → 收网 。挤 出来的。
单位圆那套只证了 x > 0 一侧。凭什么说双侧极限也成立？
因为 sin x / x 是偶函数 ，x 换成 −x 值不变，所以左极限＝右极限。
第 4 幕
一个极限，撂倒半张表
上一页那张等价无穷小表，你可能正打算硬背。不用背——它们大半是从这一个极限长出来的：
根只有一条，其余都是推论
怎么长出来的 tan x / x = (sin x / x) · (1/cos x) → 1 · 1 = 1 1 − cos x = 2 sin²(x/2) ~ 2 · (x/2)² = x² / 2 arcsin x / x ：令 t = arcsin x ，就变回 t / sin t → 1
一张要背八条的表，其实只有一个 需要记。
第 5 幕
第二台机器：单调有界
一个数列如果一直往上涨 ，同时又涨不出某个天花板 ——那它必然收敛。
只能一直涨，又撞不破天花板，就只剩一条路：贴上去
但这台机器有个要命的脾气，必须当场说清楚：
夹逼告诉你答案是谁。
听起来像是废品？恰恰相反。有时候「存在」就已经够了：你可以给这个说不出是几的答案，起个名字。
数学史上最著名的一次这么干，就是下一幕。
单调有界准则，能告诉你极限是几 吗？
不能。 它只保证答案存在，一个字也不说它是多少。起个名字 。下一幕就是这么来的。
第 6 幕
e 的出生证明
一块钱，年利率 100%，存一年。
一年结一次息：拿到 2 元。(1 + 1/2)² = 2.25 元。
拖动 n，看它一路往上爬 —— 却始终撞不破那条线
结息次数 n (1 + 1/n)n 1（每年） 2.000000 2（每半年） 2.250000 12（每月） 2.613035 365（每天） 2.714567 31 536 000（每秒） 2.718282
不会变成无穷多。 它单调增，又被 3 死死压住——按第 5 幕那台机器，极限必然存在。
可这个极限写不成任何更简单的式子 。于是数学家做了那件事：给它起个名字，叫 e。
limn→∞ (1 + 1/n)n = e = 2.718281828…
e 不是谁随手挑的一个常数。「增长出来的东西立刻再投进去增长」 这件事，能达到的上限。
第 7 幕
崩坏测试：两个条件，删哪个都塌
「单调有界」是两个条件，学生最爱只记前一半。各删一次看看：
只单调，不有界 aₙ = n 一路涨到天上只有界，不单调 aₙ = (−1)ⁿ 在 ±1 之间跳
两个条件各挡一种死法 ：
第 8 幕
整节话，就这两行
ε-δ 是验钞机 ，夹逼和单调有界是印钞机 。答案是谁 ；单调有界只告诉你答案存在 ——存在到能给它起名叫 e。
今 天 的 任 务
八道，后三道是这一页的分水岭
前五道热身，练两台机器怎么用；后三道专门检验你有没有真懂条件。
limx→0 sin 3x / x 凑成 sin(3x)/(3x) 的形状再说 limx→0 tan x / x 不许查表。自己从 sin x/x 推一遍 limx→0 (1 − cos x)/x² 用 1−cos x = 2sin²(x/2)。答案不是 1 limn→∞ (1 + 1/n)2n 先把它拆成什么的平方 limx→∞ (1 + 2/x)x 换元。令 t = x/2 ⚠️ limx→∞ sin x / x 答案不是 1。 同一个式子，过程一换，答案全变。老老实实用夹逼：|sin x / x| ≤ 1/|x|
⚠️ 用夹逼求 limn→∞ ( 1/(n²+1) + 1/(n²+2) + … + 1/(n²+n) ) 和「无穷小与无穷大」那座塔对照着做。 那里 n 项加起来是 1，这里 n 项加起来是 0 —— 形式一模一样，结论完全相反。不算，你分不出来
⚠️ 数列 aₙ = (−1)ⁿ (1 − 1/n) ：它有界吗？单调吗？收敛吗？三问分开答。这题只考第 7 幕
第 6 题和第 7 题请先写下你的直觉答案，再动笔算 。
对完答案，每道错题旁只写一句：忘了带过程 、条件只记了一半 、凑不出机器要的形状 ，还是纯算错 ？
课 本 习 题 · 1 - 6
同济第八版 P50 的六道原题，逐题给解
这一节装了两台印钞机 （夹逼准则、单调有界准则）和两个重要极限 。先在纸上做完，再点开对答案 。第 3 题课本标了 ＊。
⚠️ 做第 1、2 题时，每一步先问：我凑的是哪一个重要极限？ sin(□)/□ → 1 ，第二个是 (1 + □)1/□ → e 。□ 里必须是同一个东西，而且它得趋于 0。 这是这一节唯一会错的地方。
第 1 题 计算：(1) limx→0 sin ωx / x (2) limx→0 tan 3x / x (3) limx→0 sin 2x / sin 5x limx→0 x cot x (5) limx→0 (1 − cos 2x)/(x sin x) (6) limn→∞ 2n sin(x/2n ) （x ≠ 0 为常数）
(1) 把分母凑成 ωx ：sin ωx / x = ω · [sin ωx / (ωx)] x → 0 时 ωx → 0 ，中括号 → 1 ⟹ 极限 = ω 。ω = 0 ，原式恒为 0，答案也是 ω ，结论仍成立。
(2) tan 3x / x = [sin 3x/(3x)] · [1/cos 3x] · 3 → 1 · 1 · 3 = 3
(3) 上下各自凑：= [sin2x/(2x)] · [(5x)/sin5x] · (2x)/(5x) → 1 · 1 · 2/5 = 2/5
(4) x cot x = x cos x / sin x = [x/sin x] · cos x → 1 · 1 = 1
(5) 先用倍角公式把分子变成平方：1 − cos 2x = 2 sin²x 原式 = 2 sin²x / (x sin x) = 2 · [sin x / x] → 2
(6) 这是数列 极限，但形状还是第一个重要极限。令 t = x/2n ，n → ∞ 时 t → 0 ：2n sin(x/2n ) = x · [sin t / t] → x
(1) ω (2) 3 (3) 2/5 (4) 1 (5) 2 (6) x
⚠️ (5) 千万别用等价无穷小硬拆分子 。1 − cos 2x 是一个整体 （它等价于 2x² ），
拆成 1 − cos 2x 两项分别取极限就成了 1 − 1 = 0 ，直接把答案做没了。(6) 的题眼是「谁在趋于什么」 ：跑的是 n ，x 是常数。
先把趋于 0 的那个量找出来（这里是 x/2n ），公式才用得上。
第 2 题 计算：(1) limx→0 (1 − x)1/x (2) limx→0 (1 + 2x)1/x (3) limx→∞ ((1+x)/x)2x (4) limx→∞ (1 − 1/x)kx （k 为正整数）
四道全是 1∞ ，一律凑成 (1 + □)1/□ 的形状。
(1) 令 □ = −x ：(1−x)1/x = [(1+(−x))1/(−x) ]−1 → e−1
(2) 令 □ = 2x ：(1+2x)1/x = [(1+2x)1/(2x) ]2 → e²
(3) 先化底数：(1+x)/x = 1 + 1/x 原式 = [(1+1/x)x ]2 → e²
(4) 令 □ = −1/x ：(1−1/x)kx = [(1−1/x)−x ]−k → e−k
(1) e−1 (2) e² (3) e² (4) e−k
⚠️ 看住指数上那个数是怎么来的 ：它永远等于「原来的指数 ÷ 1/□ 」。e−1 、e²、e²、e−k 四个不同的数——
这就是 1∞ 被叫做未定式的原因。
＊第 3 题 根据函数极限的定义，证明极限存在准则 I′（函数形式的夹逼准则）。
准则 I′ ：若在 x₀ 的某去心邻域内 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ，
且 lim g = lim h = A ，则 lim f = A 。
证明（三个 δ 取最小） ：任给 ε > 0 。lim g = A ，存在 δ₁ > 0 ，使 0 < |x−x₀| < δ₁ 时 A − ε < g(x) ；lim h = A ，存在 δ₂ > 0 ，使 0 < |x−x₀| < δ₂ 时 h(x) < A + ε ；g ≤ f ≤ h 在 0 < |x−x₀| < δ₃ 内成立。
取 δ = min{δ₁, δ₂, δ₃} ，则 0 < |x−x₀| < δ 时三件事同时成立：A − ε < g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) < A + ε ，即 |f(x) − A| < ε 。limx→x₀ f(x) = A 。
整个证明的技术含量只有一处：三个条件各给一个 δ，取最小那个。
⚠️ 「取 min」这一步是 ε-δ 证明里出现频率最高的一招 ，
理由很朴素：δ 越小条件越强，取最小就能让几件事同时成立。
第 4 题 利用极限存在准则证明：limn→∞ √(1 + 1/n) = 1 (2) limn→∞ n[1/(n²+π) + 1/(n²+2π) + ⋯ + 1/(n²+nπ)] = 1 limx→0 ⁿ√(1+x) = 1 (4) limx→0⁺ x[1/x] = 1
(1) 夹住它：1 ≤ √(1 + 1/n) ≤ 1 + 1/n （右边因为 (1+1/n)² ≥ 1 + 1/n ）。→ 1 ，夹逼 ⟹ 极限 = 1 。
(2) ⚠️ 项数随 n 变，不能逐项取极限 （这是这道题的全部陷阱）。n 项，最大的一项是 1/(n²+π) ，最小的是 1/(n²+nπ) ：n · n/(n²+nπ) ≤ 原式 ≤ n · n/(n²+π) = n²/(n²+nπ) → 1 ，右边 = n²/(n²+π) → 1 ，夹逼 ⟹ 1 。
(3) 设 n ≥ 1 。当 x 在 0 附近时，ⁿ√(1+x) 夹在 1+x 与 1 之间（x > 0 时）或 1 与 1+x 之间（x < 0 时），两端都 → 1 ⟹ 极限 = 1 。
(4) 用取整函数的基本不等式 1/x − 1 < [1/x] ≤ 1/x 。x > 0 ，三边同乘 x （不改变向）：1 − x < x[1/x] ≤ 1 x → 0⁺ 时左边 → 1 ，右边恒为 1，夹逼 ⟹ 1 。
四道都是 1，四道都靠夹逼。关键永远是「造出左右两个保镖」。
⚠️ (2) 是这一节最经典的陷阱题 ：如果对每一项单独取极限，得到 n · 0 = 0 ，错。项数在变的和，永远先放缩、再夹逼 ——这一招在后面第十三页定义定积分时还会原样用一次。
第 5 题 设 x₁ = √2 ，xn+1 = √(2 + xₙ) 。证明 lim xₙ 存在，并求之。
这是「单调有界准则」的标准题型：先证有界、再证单调，最后解方程。
① 有上界（用归纳法） ：x₁ = √2 < 2 。xₙ < 2 ，则 xn+1 = √(2 + xₙ) < √(2+2) = 2 。故对一切 n 有 xₙ < 2 。
② 单调增 ：xn+1 ² − xₙ² = 2 + xₙ − xₙ² = −(xₙ−2)(xₙ+1) > 0 （因为 0 < xₙ < 2 ）xn+1 > xₙ 。
③ 由单调有界准则，极限存在 ，设为 L （且 L ≥ √2 > 0 ）。xn+1 = √(2 + xₙ) 两边令 n → ∞ ：L = √(2 + L) L² − L − 2 = 0 ⟹ (L−2)(L+1) = 0 ⟹ L = 2 （舍去 L = −1 ，因为 L > 0 ）。
极限存在且等于 2 。
⚠️ 第 ③ 步「两边取极限」必须以第 ① ② 步为前提。 L = √(2+L) 解方程，那是假设了结论 ——
同样的做法用在发散数列上会解出一个根本不存在的「极限」。这一页第 5 幕说的「单调有界只告诉你答案存在，不告诉你是谁」，在这道题里两句话都用上了。
第 6 题 设 x₁ ∈ (0, π) ，xn+1 = sin xₙ 。证明 lim xₙ 存在，并求之。
① 有下界 ：由 x₁ ∈ (0, π) 得 x₂ = sin x₁ ∈ (0, 1] ；
此后每一项都落在 (0, 1] 内（0 < t ≤ 1 时 0 < sin t < 1 ）。故 xₙ > 0 。
② 单调减 ：当 t > 0 时恒有 sin t < t ，所以从第二项起xn+1 = sin xₙ < xₙ 。
③ 单调减 ＋ 有下界 ⟹ 极限存在 ，设为 L ≥ 0 。L = sin L 。而 t > 0 时 sin t < t ，故方程只有 L = 0 。
极限存在且等于 0 。
⚠️ 第 ② 步用的 sin t < t（t > 0），正是这一页第 3 幕单位圆里推出来的那条不等式
（当时它是 sin x < x < tan x 的左半边）。顺便一提：这个数列收敛得极慢 ——迭代二十万次也才降到 0.0039 左右。
「收敛」和「收敛得快」是两回事 ，后面第二十四页会专门讲这个差别。
六道做完，这一节的两台机器就都上过手了：第 1、2 题是两个重要极限的直接使用 ；第 3、4 题是夹逼 ；第 5、6 题是单调有界 。注意第 5、6 题的最后一步都是「解一个方程」 ——单调有界准则先把「存在」这件事免费给你，
你才有资格写下 L = √(2+L) 这一行。