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第 1 幕
换一个问法：整段区间上呢
左极限、右极限、间断点、无穷小——回头看看，全是「在 x₀ 这一点」的事。
现在把镜头拉远：一个函数在整个 [a, b] 上都连续。光凭这一句，我能免费得到什么结论？
整段不断、两个端点也在里面——就这么一个前提
答案是四条。而且这四条都不需要你知道函数长什么样，也不需要它可导、有公式——只要「闭区间 + 连续」这六个字。
这一页要讲的，是数学里少见的白给：
你只交出六个字，它还你四个保证。
第 2 幕
保证一：它跑不出去（有界）
存在两条水平线，把整条曲线夹在中间。听起来像废话，但它是后面三条的地基——一个能跑到无穷的函数，谈最大值毫无意义。
无论曲线怎么扭，总有一个盒子能装下它
工程上的意思很直接：你的计算不会溢出，你的量程可以事先定下来。
第 3 幕
保证二：最高点真的站得住（最值）
这一条比上一条强，而且强在一个很容易被忽略的地方。
「有上界」只是说没人超过某条线。「有最大值」是说：真有一个点，站在最高处。这两件事不一样。
不但有天花板，还有一个点顶到了天花板
⚠️ 有上界 ≠ 有最大值。
f(x) = x 在 (0, 1) 上，上界是 1，可谁也够不着 1——最大值不存在。
最值定理说的是「够得着」，这才是它的分量所在。
「有上界」和「有最大值」，差在哪一个字上？
差在取不取得到。
上界只要求「没人越过这条线」，最大值要求「真有一个点站在线上」。
f(x)=x 在 (0,1) 上有上界 1，却没有最大值——1 那个位置压根不在定义域里。
第 4 幕
⚠️ 支点：那六个字，删哪个都塌
「闭区间上连续」——这两处是承重墙。下面三个开关，你亲手拆一次看看。
三个结果摆在一起，结论只有一个：
「闭」和「连续」各挡一种死法：
「闭」把端点关进定义域，挡住「够不着」；
「连续」把中间焊死，挡住「跑掉」。
删任何一个，四条保证一起失效。
第三种情形是闭区间，为什么也塌了？闭区间不是已经把端点关进来了吗？
端点关进来了，可中间漏了。
在 x=0 处不连续，函数就能在那附近窜到任意高——闭区间管得住两头，管不住中间的窟窿。
这也是为什么两个条件缺一不可，而不是「闭」更重要。
第 5 幕
保证三：中间一定有个根（零点定理）
如果 f 在 [a,b] 上连续，而且两端异号（f(a)·f(b) < 0），那么中间至少有一个点让 f = 0。
从地下走到地上，中途必然踩过地面
白话就是这么回事，而且这句白话就是证明的直觉：不许瞬移，就只能穿过去。
注意这条定理的脾气，上一页刚说过：
它只告诉你根存在，一个字也不说根在哪。
——和「单调有界」是同一类：存在性定理。
零点定理能告诉你根的位置吗？它和上一页的单调有界准则是同一类东西吗？
不能，而且是同一类。
两者都只保证「答案存在」，不给答案本身——这类叫存在性定理。
但「存在」绝不是废话：下一幕就靠它，把根真的找出来。
第 6 幕
它值钱在哪：你天天在用的二分法
既然「中间一定有根」，那就有了一个笨到不会出错的找法：
对半砍。算中点的函数值，看它和哪一端异号，就留哪一半。
剩下那一半里仍然一定有根（零点定理再用一次）。如此往复。
拿 x³ − x − 2 = 0 在 [1, 2] 上试试。f(1) = −2，f(2) = 4，异号，所以里面一定有根：
橙色区间是当前还没排除的范围
每砍一刀，区间长度减半，误差上界就是 (b − a) / 2ⁿ。这是一个一阶收敛的方法——回想上一页那张对数刻度的柱图，你已经知道「几阶」意味着什么了。
二分法凭什么一定能收敛到根上？
全部合法性来自零点定理这一条。没有它，对半砍只是碰运气。
二分法每一步都要「再用一次」零点定理。用在哪儿？
用在留下的那半个区间上。
因为新区间的两端仍然异号、函数仍然连续，所以它里面依然保证有根——这一步不成立的话，你砍下去就可能把根扔掉了。
第 7 幕
保证四：连续函数不能跳级（介值）
零点定理其实只是一个特例。把它推广一下：
f 在 [a,b] 上连续，那么 f(a) 和 f(b) 之间的每一个值，都会被取到。
把横线放在两端值之间的任何高度，它都躲不开
换个说法：连续函数不能跳级。从 3 分涨到 90 分，中间每一个分数它都当过。
回头看第二页：跳跃间断点干的正是「跳级」这件事。
所以那种函数拿不到这条保证——它可以从 0 直接蹦到 12，中间的 6 从未发生过。
这一页和那一页，说的是同一件事的两面。
一根杆子，左端 20℃，右端 80℃，温度沿杆连续分布。杆上一定存在 55℃ 的点吗？
一定存在。55 夹在 20 和 80 之间，介值定理直接给结论。
但它同样不告诉你在哪儿——要找到它，还得二分。
⚠️ 如果杆子是两段焊起来的、温度在焊缝处跳变，这个保证立刻作废。
第 8 幕
整节话，就这一行
- 有界跑不出去，量程可以事先定死
- 有最值最高最低不只是有，而且够得着
- 有零点两端异号，中间必有根——二分法的全部底气
- 介值不能跳级，中间每个值都当过
交出「闭区间 + 连续」六个字，白拿这四条。
删掉任何一个字，四条一起塌。
今 天 的 任 务
八道，第 5、6 题是分水岭
凡是用定理的题，都先写清楚三件事：在哪个区间、是否连续、条件满不满足。跳过这三步的答案不算数。
- f(x) = 1/x 在 (0, 1] 上连续吗？有界吗？两问的答案一个「是」一个「否」。说清楚为什么这不矛盾
- f(x) = x 在 (0, 1) 上：有上界吗？有最大值吗？把第 3 幕那条区分用出来
- 证明 x³ − x − 2 = 0 在 [1, 2] 内有根老老实实写三步：连续、异号、结论。别跳
- 接上题，手算二分法 3 步，写出根所在区间和误差上界对着第 6 幕那个滑块核一下
- ⚠️ f(x) = 1/x，f(−1) = −1，f(1) = 1，两端异号。那么 (−1, 1) 内一定有根吗？先答，再画图。这题不动手画的人几乎都会答错
- ⚠️ 一个函数在 [0, 1] 上有界，它一定取得到最大值吗？举例说明提示：有界是真的，缺的是另一个条件
- 一根杆左端 20℃、右端 80℃，温度连续分布。杆上一定有 55℃ 的点吗？如果杆是两段焊起来的呢？两问分开答
- 二分法要把误差从 0.5 降到 10⁻⁶，大约要迭代多少次？用 (b−a)/2ⁿ 解一下。答案是个二十上下的数
第 5 题是全章最经典的陷阱：两端确实异号，可它在 x=0 处根本不连续，定理压根用不上。画一张图就全清楚了——而不画图、只看「异号」就下结论的人，正是这条定理最想拦住的人。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是没检查连续、没检查区间是闭是开、把「有界」当成了「有最值」，还是纯算错？
课 本 习 题 · 1 - 10
同济第八版 P73 的九道原题，逐题给解
这一节的习题没有一道计算题，全是证明——因为这一节给的本来就不是算法，是四条保证。
先在纸上做完，再点开对答案。第 7、8、9 题课本标了 ＊。
⚠️ 九道里有六道是同一个套路：造一个辅助函数，让它在两端异号，然后请零点定理出场。
写证明时三件事一件都不能省：① 说清在哪个闭区间上 ② 说清为什么连续 ③ 算出两端异号。
第 1 题设 f 在 [0,1] 上连续，且对任一 x ∈ [0,1] 有 0 ≤ f(x) ≤ 1。证明存在 c ∈ [0,1] 使 f(c) = c（不动点）。
要证 f(c) = c，就把它挪成「等于零」——零点定理只认这个形式。
令 g(x) = f(x) − x，它在 [0,1] 上连续（连续函数之差）。
算两端：g(0) = f(0) − 0 = f(0) ≥ 0；g(1) = f(1) − 1 ≤ 0（由 f(1) ≤ 1）。
分两种情形（⚠️ 这一步不能省，因为条件给的是 ≥、≤，不是严格不等）：
若 g(0) = 0，取 c = 0；若 g(1) = 0，取 c = 1；
否则 g(0) > 0 > g(1)，两端严格异号，由零点定理存在 c ∈ (0,1) 使 g(c) = 0，即 f(c) = c。
造 g = f − x，两端异号，零点定理收工。
⚠️ 为什么是 [0,1] 而不是开区间？因为端点上的值 f(0)、f(1) 是判断异号的唯一依据。
换成 (0,1)，两端根本取不到值，这个证明第一步就写不下去——这正是第 4 幕拆承重墙时看到的那件事。
第 2 题证明方程 x⁵ − 3x = 1 至少有一个根介于 1 和 2 之间。
① 挪成等于零：令 f(x) = x⁵ − 3x − 1。
② 说明连续：多项式，在 [1, 2] 上连续。
③ 算两端：f(1) = 1 − 3 − 1 = −3 < 0；f(2) = 32 − 6 − 1 = 25 > 0。
两端异号，由零点定理，存在 ξ ∈ (1, 2) 使 f(ξ) = 0，即原方程在 1 与 2 之间有根。
三步走完，一行不多。这就是这一节的标准答题格式。
⚠️ 零点定理只说「至少有一个」，不告诉你有几个、也不告诉你在哪。
想知道在哪，得用第 6 幕那把二分法的刀去逼近。存在性和求值是两回事。
第 3 题证明方程 x = a sin x + b（a > 0, b > 0）至少有一个正根，且不超过 a + b。
① 挪成等于零：f(x) = x − a sin x − b，在 [0, a+b] 上连续。
② 左端：f(0) = 0 − 0 − b = −b < 0（用到 b > 0）。
③ 右端：f(a+b) = (a+b) − a·sin(a+b) − b = a·[1 − sin(a+b)]
因为 sin ≤ 1 且 a > 0，所以 f(a+b) ≥ 0。
④ 分情形：若 f(a+b) = 0，则 x = a+b 本身就是根（它是正数，且「不超过 a+b」成立）；
否则 f(0) < 0 < f(a+b)，零点定理给出 ξ ∈ (0, a+b)。
两种情形都得到一个正根 ξ ≤ a + b。
⚠️ 右端点为什么偏偏取 a+b？因为要让 x − b 至少追上 a sin x，
而 a sin x 最大不过 a。
「取哪个区间」不是碰运气，是从要证的结论倒推出来的。
第 4 题证明任一奇数次代数方程 a₀x2n+1 + a₁x2n + ⋯ + a2n+1 = 0（a₀ ≠ 0）至少有一个实根。
不妨设 a₀ > 0（否则两边同乘 −1，根不变）。记多项式为 f(x)，它处处连续。
关键：最高次项在远处说了算。把 f(x) 提出 x2n+1：
f(x) = x2n+1[a₀ + a₁/x + ⋯ + a2n+1/x2n+1]
|x| → ∞ 时方括号 → a₀ > 0，而 x2n+1 是奇次幂：
x → +∞ 时 f → +∞；x → −∞ 时 f → −∞。
于是可取到 A < 0 < B 使 f(A) < 0 < f(B)。f 在 [A, B] 上连续且两端异号，零点定理 ⟹ 有实根。
奇次幂两头方向相反，这就是全部理由。
⚠️ 偶次为什么不行？x² + 1 = 0 就没有实根——偶次幂两头同方向，异号根本凑不出来。
这道题真正证明的不是「方程有根」，是「奇数这个条件用在哪儿」。
第 5 题证明方程 x³ + 2x² − 4x − 1 = 0 有三个实根。
三次方程最多三个根，所以只要找出三个变号区间就够了。令 f(x) = x³ + 2x² − 4x − 1，处处连续。
试算几个点（这一步就是动手代数）：
符号变了三次：(−4,−3)、(−3, 0)、(1, 2)。
每段用一次零点定理，各得一个根；三段互不相交，所以是三个不同的实根。
又因三次多项式至多三个实根，故恰好三个。
三个根分别落在 (−4,−3)、(−3,0)、(1,2) 内
（数值约 −3.164、−0.227、1.391）。
⚠️ 只写「有三个实根」不算证完：必须同时说明「至少三个」（三次变号）和「至多三个」（次数限制）。
零点定理只管前一半。
第 6 题设 f 在 [a,b] 上连续，a < x₁ < x₂ < ⋯ < xₙ < b。证明在 (x₁, xₙ) 内至少有一点 ξ 使 f(ξ) = [f(x₁)+⋯+f(xₙ)]/n。
这道题用的不是零点定理，是最值定理 ＋ 介值定理的组合。
① 取最值：f 在闭区间 [x₁, xₙ] 上连续，由最值定理存在 p, q ∈ [x₁, xₙ] 使
f(p) = m（最小）、f(q) = M（最大）。
② 夹住那个平均数：每个 f(xᵢ) 都满足 m ≤ f(xᵢ) ≤ M，n 个加起来再除以 n 不会跑出这个范围：
m ≤ [f(x₁)+⋯+f(xₙ)]/n ≤ M
③ 介值定理：这个平均值介于 f(p) 与 f(q) 之间，故在 p 与 q 之间存在 ξ 使 f(ξ) 恰等于它。
而 p, q 都在 [x₁, xₙ] 内，所以 ξ 也在其中。
最值定理提供「上下两个栏杆」，介值定理保证中间每个值都被取到。
⚠️ 这道题正好把这一节的两条保证串起来用了一次：
没有最值定理，你不知道 m、M 是不是真被取到（只知道有界，取不到就没有 f(p) 可用）；
没有介值定理，你不知道中间那个平均值会被谁取到。第 3 幕那句「有上界 ≠ 有最大值」，在这儿是真要命的。
＊第 7 题设 f 在 [a,b] 上对任意两点满足 |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|（L > 0），且 f(a)·f(b) < 0。证明存在 ξ ∈ (a,b) 使 f(ξ) = 0。
题目没直接说 f 连续，所以第一步就是把连续性证出来。
① 由那条不等式推连续：对任一 x₀，|f(x) − f(x₀)| ≤ L|x − x₀|。
只要 |x − x₀| 足够小，右边就任意小，左边跟着任意小 ⟹ f 在 x₀ 连续。
（给定 ε，取 δ = ε/L 即可。）
② 两端异号：f(a)·f(b) < 0 就是说两个值一正一负。
③ 零点定理 ⟹ 存在 ξ ∈ (a,b) 使 f(ξ) = 0。
这条不等式的名字叫利普希茨条件，它比连续更强：不但不断，还不许变化得太快。
⚠️ 注意题目的用意：它没有把「连续」写在条件里，而是给了一个看起来不像连续的条件。
能不能认出「这其实就是连续（还更强）」，就是这道题的全部考点。
＊第 8 题证明：若 f 在 (−∞, +∞) 内连续，且 limx→∞ f(x) 存在，则 f 在 (−∞, +∞) 内有界。
思路：把无限长的数轴切成「两头」和「中间」，分别用两件不同的工具。
① 两头交给极限。设 limx→∞ f(x) = A。取 ε = 1，存在 X > 0，使 |x| > X 时
|f(x) − A| < 1 ⟹ |f(x)| < |A| + 1
② 中间交给这一节。f 在闭区间 [−X, X] 上连续，由有界性定理存在 M₁ 使 |f(x)| ≤ M₁。
③ 合并：取 M = max{M₁, |A| + 1}，则对所有 x 都有 |f(x)| ≤ M。
两头靠极限压住，中间靠闭区间上的有界性定理压住。
⚠️ 两个条件缺一不可。
只连续不假设极限存在：f(x) = x 处处连续却无界；
这道题真正示范的是一种拆法：无限的区间没法直接用这一节的定理，就先切出一段有限的闭区间来。
这个套路后面还会反复出现。
＊第 9 题在什么条件下，(a,b) 内的连续函数 f 是一致连续的？
先说清一致连续和连续差在哪（这也是这道题唯一的难点）：
连续：每给一个点 x₀ 和一个 ε，都能找到 δ。δ 可以随点而变。
一致连续：给一个 ε，能找到一个 δ 通吃整个区间上所有的点。
结论：(a,b) 内连续的 f 一致连续 ⟺ 两个端点处的单侧极限
limx→a⁺ f(x) 与 limx→b⁻ f(x) 都存在（有限）。
为什么：极限存在就意味着可以把 f 补充定义成闭区间 [a,b] 上的连续函数；
而闭区间上的连续函数一定一致连续（康托定理）。反过来，一致连续会强迫两端极限存在。
条件就是：能把它连续地延拓到闭区间 [a,b] 上。
⚠️ 反例最能说明问题：f(x) = 1/x 在 (0,1) 内连续，但不一致连续——
越靠近 0，同一个 ε 要求的 δ 越小，没有哪一个 δ 通吃。
而它在 x → 0⁺ 处极限是 ∞，正好不满足上面那个条件。
⚠️ 这一小题超出本页范围（课本标了 ＊），知道「闭区间连续 ⟹ 一致连续」这一条就够用了。
九道做完，回头看这一节的四条保证是怎么被用的：
零点定理撑起第 1–5、7 题；最值 ＋ 介值撑起第 6 题；有界性撑起第 8 题。
而它们全都要求那六个字：闭区间、连续。第 4 幕那三态开关拆掉的，正是这里每一道题的地基。