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第 1 幕
一个很实在的反问
想象你手上只有行车记录仪里的速度曲线——每一刻的速度都知道，可没有里程表。
能不能把这段路程还原出来？
往右是求导（这十一页干的事），往左就是这一章
这就是原函数问题：已知 f，去找一个 F，使得 F′ = f。
不定积分不是什么新概念。
它就是把求导那个箭头，反过来走一遍。
——只不过，反着走会遇到一件正着走时不会遇到的麻烦。
第 2 幕
麻烦来了：答案不止一个
如果 F′ = f，那么 (F + 1)′ 也等于 f，(F + 100)′ 还是等于 f。
因为求导会把常数项抹掉。抹掉的东西，倒推时自然恢复不了。
一整族曲线，每一条在同一个 x 处的切线都平行
拖动滑块：整条曲线上下平移，可每一点的斜率一个没变。它们的导数完全相同。
这件事的物理含义特别朴素
只知道速度，你不知道车是从哪儿出发的。
同样的速度曲线，从家门口开和从公司门口开，走出来的位置曲线差一个常数——而速度表看不出这个差别。
两条只差一个常数的位置曲线，速度表能分辨出来吗？这对应数学上的哪句话？
分辨不出来。它们每一时刻的速度完全相同。
数学上就是：(F + C)′ = F′——求导会把常数抹掉。
抹掉的东西，反着走时自然恢复不了。这就是 +C 的来历。
第 3 幕
但也就差一个常数，不多不少
上一幕留了个问题：会不会还差点别的什么？比如两个原函数相差一个乱七八糟的函数？
不会。而且这件事你已经证过了：
设 F′ = G′ = f，那么 (F − G)′ = 0。
第八页的第二张许可证：f′ ≡ 0 ⇒ f 是常数。
所以 F − G 必然是个常数，不可能是别的东西。
+C 不是随手加的装饰。
它精确地记录了「反着走会丢多少信息」——恰好一个常数，不多也不少。
而"不多不少"这四个字，是中值定理给的保证。
于是记号定下来：
∫ f(x) dx = F(x) + C
⚠️ 漏掉 +C 不是"扣一分"的小毛病。
题目问的是全体原函数（一族曲线），你只交了其中一条——答案是不完整的，不是不严谨。
凭什么断定两个原函数只差常数？会不会差一个 sin x 之类的东西？
不会。若真差了 sin x，那 (F − G)′ = cos x，不恒为 0——
可两者导数明明都等于 f，差的导数只能是 0。
而"导数恒为 0 的函数必是常数"，是第八页用拉格朗日中值定理证过的。
没有那条定理，+C 这个写法就没有依据。
第 4 幕
⚠️ 支点：反着走的四件怪事
求导是一条平坦的单行道，反过来走却处处是坑。四个开关，看清楚它们各自长什么样。
第四个开关最值得停一停，因为它揭示了这一章和前面所有章的根本区别：
求导是机械的，积分不是。
初等函数求导，结果一定还是初等函数——照着法则走就行，不用动脑子。
可反过来：e−x²、sin x / x、1/ln x 这些函数的原函数确实存在（它们连续），但写不成初等函数。
——不是你不会做，是它压根没有初等表达式。
e−x² 的原函数「不存在」，还是「存在但写不出来」？这两句话差在哪？
存在，只是写不成初等函数。
它是连续函数，原函数一定存在（下一章的变上限积分会把它明明白白造出来）。
写不出来的是用有限个初等函数拼出的表达式。
这个区别很要紧："存在"是数学事实，"写得出"是表达能力——正态分布的那条钟形曲线就是它，工程上照用不误，只是查表或数值算。
第 5 幕
可它送了一份别的章节都没有的礼物
积分难在"凑"——换元、分部、拆项，很大程度上靠试。可它有一个求导没有的好处：
答案可以自己验。
把你算出来的结果求导回去，看是不是回到被积函数。
是，就一定对；不是，就一定错。不用等对答案。
算完往回走一步，对错当场揭晓
回想这套材料的第一条规矩：
「我看懂了」这句话不作数，作数的是「我能说出它在什么情况下会错」。
从第一页起，我们一直在练"自己判自己对错"这件事——
而积分，是整本教材里唯一一类天生自带验算机制的题。
所以这一章的正确做法只有一条：
每做完一道，立刻求导验一遍。
不验的人是在赌，验了的人是在学。
为什么求导不能这样自己验，积分却可以？
因为验算要用的那个方向，必须是机械可靠的。
积分的结果拿去求导——求导有完整的法则，一步不会错，所以验得住。
反过来，求导的结果拿去积分验，等于用一个更不可靠的动作去检查一个可靠的动作，没有意义。
能自验的前提是：你手上有一个更硬的方向。这一章正好有。
第 6 幕
基本积分表：把求导表倒着抄一遍
很多人一上来就想背积分表。其实没有新东西要背——它就是求导表反过来读：
| 你已经会的求导 | 倒过来读就是 |
|---|
| (xa+1/(a+1))′ = xa | ∫xadx = xa+1/(a+1) + C |
| (sin x)′ = cos x | ∫cos x dx = sin x + C |
| (−cos x)′ = sin x | ∫sin x dx = −cos x + C |
| (tan x)′ = sec²x | ∫sec²x dx = tan x + C |
| (ex)′ = ex | ∫exdx = ex + C |
| (ln|x|)′ = 1/x | ∫(1/x)dx = ln|x| + C |
| (arctan x)′ = 1/(1+x²) | ∫dx/(1+x²) = arctan x + C |
⚠️ 倒数第二行那个绝对值，是全表最高频的失分点。
1/x 在 x < 0 那半边也有定义，而 ln x 没有——丢了绝对值，等于把定义域砍掉一半。
一张表，两个方向读。
背不下积分表的人，多半是求导表也没真背熟。
∫(1/x)dx = ln|x| + C —— 那个绝对值为什么非加不可？
因为 1/x 在 x < 0 那半边也有定义，而 ln x 没有。
写成 ln x + C，等于悄悄把定义域砍掉一半。
验一下就清楚：x < 0 时 (ln(−x))′ = (−1)/(−x) = 1/x ✓ —— 两半边都成立，所以要用绝对值把它们一起装进去。
第 7 幕
整节话，就这三行
不定积分 = 把求导的箭头反过来。
反着走会丢掉一个常数，正好一个——这是中值定理保证的，所以 +C 不能省。
求导是机械的，积分是猜的；但积分能自己验对错，所以每做一道就求导验一道。
今 天 的 任 务
八道，每一道做完都要求导验一遍
这一页的作业有个别处没有的规矩：每道题的答案下面，必须写一行验算——把结果求导，看是否回到被积函数。没有那一行的答案不算做完。
- ∫ x³ dx幂函数。别忘了那个 C
- ∫ (2x + cos x) dx分开积，最后只写一个 C
- ⚠️ 算出 ∫ x² dx 之后，把结果求导写在下面一行这一题练的不是积分，是那个动作本身
- ⚠️ 判断对错：∫ x·x dx = (∫x dx)·(∫x dx)两边都老老实实算出来再下结论。算完你就永远不会再写乘法法则了
- ⚠️ 已知 v(t) = 3t² − 2，且 t = 0 时 s = 5，求 s(t)先积出一族，再用那个已知条件把 C 定死。这就是"知道从哪儿出发"
- ⚠️ 为什么 ∫ e−x² dx 写不出初等表达式？这说明积分和求导有什么根本区别回答里必须区分"存在"和"写得出"
- ⚠️ ∫ (1/x) dx写完检查一下：定义域是全体非零实数，你的答案覆盖了 x<0 那半边吗
- 从求导表反推：∫ sec²x dx 和 ∫ dx/(1+x²)不许查积分表，只许查求导表
第 4 题算完之后，请把两个结果并排写在纸上：x³/3 和 x⁴/4。
它们差得如此明显——而"积分有乘法法则"这个错觉，正是靠这种明显的反例才拔得掉的。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是漏了 +C、用了不存在的法则、丢了绝对值/定义域，还是纯算错？
——如果你每道都验算了，第四类几乎不该出现。