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第 1 幕
一个中学没能回答的问题
长方形、三角形、梯形，面积都有公式。可是——
一条曲线围出来的面积，怎么算？
这块叫曲边梯形。三条边是直的，一条边是弯的
只要有一条边是弯的，中学那些公式全部失效。而这类形状在工程里到处都是：不规则截面的面积、变力做的功、变速运动走的路、非均匀杆的质量。
先记住一件事：这个问题和"导数"看起来毫无关系。
——这一页的高潮，就是这句话是错的。
第 2 幕
唯一想得出的笨办法：切成条
弯的算不了，直的算得了。那就把它切成很多细条，每条当成矩形。
条数越多，误差越小。拖动滑块看看：
拿 y = x² 在 [0, 1] 上试，真值是 1/3
矩形总面积一路逼近 0.3333…。但永远差那么一点——除非条数取到"无穷多"。
又是这个动作：到不了那个点，但可以从周围推断它。
第一页那件事，第十三次登场——这一次要用它去定义面积。
第 3 幕
把动作写成定义：四步
- 分割把 [a, b] 任意切成 n 小段，第 i 段宽 Δxᵢ
- 近似每段里随便挑一点 ξᵢ，用矩形 f(ξᵢ)·Δxᵢ 顶替这一条
- 求和全部加起来：Σ f(ξᵢ)Δxᵢ —— 这叫黎曼和
- 取极限让最宽的那条也趋于 0（λ → 0），如果和有极限，就叫它定积分
∫ab f(x) dx
这个记号本身就是一句话
∫ 是拉长的 S（Sum，求和）；
dx 是 Δx 缩到极限后留下的影子。
连起来读："把无穷多个 f(x)·dx 加起来"。
⚠️ 这四步不是为面积发明的，是为一切"把很多小份加起来"的问题发明的：
变速运动的路程、变力做的功、非均匀杆的质量、电荷量……
形状全都一样，只是 f 换个身份。
第 4 幕
⚠️ 四个必须先掰清楚的地方
⚠️ 第二个开关最要命：定积分算的是「代数和」，不是「几何面积」。
∫−11 x dx = 0，可那两块图形的面积明明是 1。
题目问"面积"时，得先看曲线在哪一段跑到轴下面去了，分段加绝对值。
∫abf(x)dx 和 ∫f(x)dx，差在哪？名字这么像，是同一类东西吗？
完全不是一类东西。
∫abf(x)dx 是一个数（一块面积、一段路程），和用什么字母当积分变量都无关：∫abf(x)dx = ∫abf(t)dt。
∫f(x)dx 是一族函数（带 +C 的那一堆）。
它俩长得像纯属历史巧合——要到第 7 幕，你才会看到它们真正的血缘关系。
第 5 幕
定义有了，可它算不动
按定义算 ∫₀¹ x² dx，你得凑出求和公式：
1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6
然后代进去取极限，才得到 1/3。已经很费劲了。
那么 ∫₀¹ sin x dx 呢？
你得先求出 sin(1/n) + sin(2/n) + … + sin(n/n) 的封闭表达式。
——这一步，基本上做不到。
这个处境你见过。第五页说过一模一样的话：
ε-δ 定义是验钞机，不是印钞机——它告诉你"是什么"，不告诉你"怎么求"。
定积分的定义也一样：它把面积说清楚了，但没给你一条能走的路。
所以还缺一台机器。
而这台机器，会把这一页和前面十二页整个接起来。
第 6 幕
⚠️ 支点：把上限放开，面积就成了函数
一个看着不起眼的改动：让右端点动起来。
Φ(x) = ∫ax f(t) dt
右端点走到哪儿，就把到那儿为止的面积记下来。面积从此是一个函数了。
拖着走，盯住下面那条 Φ：f 高的地方，Φ 涨得陡；f 矮的地方，Φ 涨得缓。
这不是巧合。x 往右挪一丁点 dx，新增的面积就是一根细条，高 f(x)、宽 dx：
dΦ = f(x)·dx ⟹ Φ′(x) = f(x)
面积函数的导数，正好是被积函数。
回头看第 1 幕那句话——"这个问题和导数看起来毫无关系"。
错了。求面积和求导数，是同一件事的两个方向。
为什么 f 高的地方 Φ 就涨得快？用一句大白话解释。
因为 Φ 涨的速度，就是每往右走一点、新扫进来多少面积。
而新扫进来的那根细条，高度正是 f(x)——f 越高，同样宽度扫进来的面积越大。
"Φ 的增长率 = f 的高度"，这句大白话写成式子就是 Φ′ = f。
第 7 幕
收口：上一页那一章，就是为了这一刻
把上一幕的结论和第十二页拼起来，三步就到终点：
- Φ 是 f 的一个原函数刚证的：Φ′ = f
- 任取另一个原函数 F，两者只差常数第十二页那条：Φ(x) = F(x) + C——而"只差常数"是中值定理保证的
- 用 x = a 把 C 定死Φ(a) = 0（从 a 到 a 没扫出任何面积）⟹ C = −F(a)
于是 Φ(x) = F(x) − F(a)，取 x = b：
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
牛顿–莱布尼茨公式。
一个要靠"无穷多个矩形"才能定义的东西，算的时候只需要在两个点上代两次数。
∫₀¹ sin x dx = (−cos 1) − (−cos 0) = 1 − cos 1 ——刚才做不到的题，一行完事。
现在回答上一页开头那个没说破的问题：
为什么要花一整章学"求原函数"？
因为求原函数，是算定积分的唯一实用途径。
你在第十二页学的"把箭头反过来"，全部价值在这一行公式里兑现。
这就是微积分基本定理——
它把"求变化率"和"求累积量"这两条各自独立发展了两千年的线，焊成了一件东西。
整门课叫「微积分」，就是因为这一刻。
第 3 步里用 Φ(a) = 0 定出常数——这一步为什么是合法的？换成别的点行不行？
合法，因为 Φ(a) = ∫aaf = 0 是定义直接给的：从 a 扫到 a，没有任何面积。
换别的点当然也行（那正是"定积分与积分限"的一般关系），但用 a 最省事——它是唯一一个你不用算就知道值的点。
这是解题里的通用手法：定常数，就去找那个"白送"的已知值。
第 8 幕
整节话，就这三行
定积分＝分割、近似、求和、取极限，得到的是一个数。
把上限放开，面积就成了函数，而它的导数就是被积函数。
于是 ∫abf = F(b) − F(a)：求面积和求导数，是同一件事的两个方向。
今 天 的 任 务
八道，第 3、6、8 题是关键
凡是算定积分的题，先想一秒：我要的是"代数和"还是"几何面积"？这两个字差一次就全错。
- 用矩形和估算 ∫₀¹x²dx，取 n = 4，右端点取值算完对着第 2 幕的滑块核一下
- 用牛顿–莱布尼茨算 ∫₀¹x²dx，和上题比较体会一下这两种方法的工作量差多少
- ⚠️ ∫−11 x dx = ? 它等于那两块图形的面积吗？画图说明先算，再画，再解释为什么不一样
- ⚠️ ∫abf(x)dx 与 ∫f(x)dx 的区别，用一句话说清答案里必须出现"数"和"函数族"这两个词
- 求 d/dx ∫₀x sin t dt直接用第 6 幕的结论，一步
- ⚠️ 求 d/dx ∫₀x² sin t dt上限不再是 x 了。这是复合，要套链式法则——高频考点，也是高频错点
- 一辆车速度 v(t) = 3t²（米/秒），求前 2 秒走的路程写清楚你为什么可以用定积分
- ⚠️ 为什么按定义算 ∫₀¹ sin x dx 几乎做不到，用牛顿–莱布尼茨却一行就完？这说明基本定理的价值是什么这题不是计算题，是这一页的总结。写不出来就把第 5、7 幕再看一遍
第 6 题请先按第 5 题的样子写一遍（大概率会写成 sin(x²)），再想想上限是 x² 意味着什么。
错一次再改对，比一次做对记得牢。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是把代数和当成了几何面积、把定积分和不定积分搞混、变上限求导漏了链式法则，还是纯算错？