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第 1 幕
一个用了很久、却始终没有定义的符号
往回翻一翻，dx 出现过多少次：
- 导数那页 写成 dy/dx，老师加了一句："这是个整体记号，别当分数看"
- 不定积分那页 ∫f(x)dx —— 那个 dx 挂在末尾，到底干什么用的？
- 定积分那页 dΦ = f(x)dx —— 我当时说它是"面积微元"，也没细说
- 而在微分方程里 大家理直气壮地把 dx 乘到等号另一边去。既然"不是分数"，凭什么能乘？
五页下来，这个符号一直在干活，却始终没有身份。
这一节就是来发这张身份证的。
第 2 幕
从一块正方形铁板讲起
边长 x 的正方形，面积 A = x²。现在边长增加一点点 Δx，面积增加了多少？
多出来的部分，天然分成两类：
两条长条 2x·Δx —— 和 Δx 成正比，是大头
角上那个小方块 (Δx)² —— 是 Δx 的高阶无穷小
"高阶无穷小"这个词，第四页讲过：
它不是因为小才能忽略，是因为它占的比例在消失。
拖着滑块看那行占比——Δx 减半，小方块的占比也跟着减半。
于是增量被拆成了两块：
增量 ＝ 一个和 Δx 成正比的主部 ＋ 一个可以忽略的零头。
这一句就是微分的全部内容。
角上那个小方块，为什么可以扔掉？它明明也是实实在在的一块面积。
因为要紧的不是它多大，是它占多大比例。
拖着滑块看那行数字：Δx 从 0.6 减到 0.08，小方块的占比从 23% 掉到 3.8%——Δx 减半，占比也跟着减半。
这正是第四页那句话：「可以忽略」不是因为它小，是因为它占的比例在消失。
第 3 幕
把主部拎出来，给它起个名字
一般地，只要 f 可导，增量总能这样拆：
Δy = f′(x)·Δx + o(Δx)
把那个线性主部 f′(x)·Δx 单独拎出来，记作 dy，叫做 f 的微分。
至于自变量：对 y = x 来说 f′ = 1，于是 dy = Δx。所以规定 dx = Δx——自变量的微分，就是它的增量本身。
dy = f′(x) dx
两边同除以 dx：
dy / dx = f′(x)
看清楚发生了什么：
dy 和 dx 现在都是实实在在的量了，各自有定义。
所以 dy/dx 真的是一个商——
第七页那句"这是整体记号、别当分数"，到今天可以退休了。
第七页说 dy/dx 不是分数，这一页说它是商。两种说法矛盾吗？
不矛盾，是先后顺序的问题。
第七页讲导数时，dy 和 dx 各自还没有定义——那时候整个 dy/dx 只能当一个不可拆的记号来用，说"别当分数"是负责任的。
这一页把两者各自定义清楚之后，它才成为真正的商。
数学里这种事很常见：记号先被用起来，定义后补。你现在补上了。
第 4 幕
⚠️ 支点：dy 是切线升高的那一截
同一个 Δx，有两个"升高"：
Δy 是曲线升高了多少；dy 是切线升高了多少。两者的差，就是那个零头。
把 Δx 一路压小，盯住最后那个比例：零头占 Δy 的份额，一路塌向 0。
所以微分这件事，用一句话说就是：
在很小的范围内，用切线代替曲线。
这也正是工程上"线性化"四个字的全部含义——
非线性的东西不好算，就在工作点附近换成直线。
为什么可以"用切线代替曲线"？代替之后丢掉的东西，凭什么不要紧？
因为丢掉的是 o(Δx)——高阶无穷小。
要紧不要紧，看的不是它的绝对大小，而是它占的比例：Δx 越小，零头在 Δy 里占的份额就越小，一路趋于 0。
这正是第四页那句话："可以忽略"不是因为它小，是因为它占的比例在消失。
第 5 幕
拿它干活（一）：不用计算器估个数
把 Δy ≈ dy 反过来用：
f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f′(x₀)·Δx
只要 x₀ 处的值好算、Δx 又小，心算就能出结果：
| 要算的 | 怎么拆 | 估算值 | 真值 |
|---|
| √1.02 | 1 + ½×0.02 | 1.010000 | 1.009950 |
| sin 31° | 0.5 + cos30°×π/180 | 0.515117 | 0.515038 |
| e0.03 | 1 + 1×0.03 | 1.030000 | 1.030455 |
这个式子你其实在第十页见过——它就是一阶泰勒多项式。
微分 = 泰勒展开只留第一项。泰勒是"抄很多阶"，微分是"只抄一阶"。
两页说的是同一件事，只是抄的深浅不同。
第 6 幕
拿它干活（二）：实验课上天天用的误差传播
量一个球的半径，r = 10 cm，尺子的误差 ±0.1 cm。那算出来的体积，误差有多大？
V = (4/3)πr³，取微分：dV = 4πr²·dr
dV = 4π × 100 × 0.1 ≈ 125.7 cm³
但更有用的是相对误差——两边一除：
dV / V = 3 · (dr / r)
半径量错 1%，体积就错 3%。
这个"3 倍"关系不用代任何具体数字就能看出来——指数是几，相对误差就放大几倍。
V ∝ r³ → 3 倍；A ∝ r² → 2 倍。
| 量的是 | 关系 | 半径差 1%，结果差 |
|---|
| 周长 | C ∝ r | 1 % |
| 面积 | A ∝ r² | 2 % |
| 体积 | V ∝ r³ | 3 % |
这是微分在工程上最常见的姿势：
不是为了算出更精确的数，而是回答"我的测量误差会被放大多少倍"。
做实验报告时那一栏"误差分析"，用的就是它。
半径量错 1%，体积错 3%。这个"3"是从哪儿冒出来的？换成四次方会是几？
从指数来的。V = kr³ ⟹ dV = 3kr²dr，两边除以 V = kr³：
dV/V = 3·(dr/r)——指数原封不动地跑到了前面当放大倍数。
所以四次方就是 4 倍。一般地：y = kxⁿ ⟹ dy/y = n·(dx/x)。
这条式子值得单独记下来，实验报告的误差分析栏基本只用它。
第 7 幕
回到第一幕：那些 dx 现在都能解释了
| 当时的写法 | 现在的解释 |
|---|
| dy/dx |
两个微分之商，名副其实 |
| ∫f(x)dx |
dx 既标明对谁积分，本身也是那个微分 |
| dΦ = f(x)dx |
面积微元：宽 dx、高 f(x) 的一根细条 |
| 把 dx 乘过去 |
合法：两边都是实实在在的量，可以移项 |
⚠️ 但别得意忘形：这些操作合法的前提是函数可导。
微分方程里"分离变量"那一手，在这个层面上够用；它更严格的依据要到后面才补。
——记号方便，不等于可以不管前提。
这一幕的意义不只是"解释了几个符号"。
它意味着从这一页起，你可以把 dy 和 dx 当成可以搬动的零件来用——
而下一章的换元积分法，整个建立在这件事上：g′(x)dx = dg。
第 8 幕
整节话，就这三行
微分 ＝ 增量的线性主部，几何上就是切线升高的那一截。
dy = f′(x)dx，所以 dy/dx 真的是一个商。
它的用处：近似估算（一阶泰勒）和误差传播（相对误差放大几倍）。
今 天 的 任 务
八道，第 5、6 题是分水岭
凡是用微分近似的题，先写清楚三件事：在哪个点展开、Δx 是多少、丢掉的是什么阶。
- y = x³ 在 x = 2，Δx = 0.01：分别算 Δy 和 dy，并求两者之差差应该是 (Δx)² 量级的东西。核对一下
- 求 d(sin x)、d(ln x)、d(ex)就是求导表右边统一加个 dx
- 用微分估算 √1.02 与 sin 31°，和计算器对比对着第 5 幕的表核，误差应该在小数点后第 4 位
- 圆面积 A = πr²，用微分解释"圆环面积 ≈ 周长 × 宽度"算出 dA 来看看它长什么样。这题能让你一眼理解微元法
- ⚠️ Δy 和 dy 差在哪？画一张图说明，并指出那个差是什么阶的无穷小图上必须同时出现曲线和切线两条
- ⚠️ 第七页说 dy/dx 不是分数，这一页说它是商。两种说法矛盾吗？这题不考计算，考的是你有没有真的读懂这一节在干什么
- ⚠️ 球半径 10 cm，测量误差 ±0.1 cm：求体积的绝对误差和相对误差相对误差那问，不代数字也应该能说出答案
- 立方体棱长 a 增加 da：用微分求体积增量的主部，并画图指出被忽略的是哪几块第 2 幕那张正方形的图，升一个维度
第 8 题请真的把立体图画出来：三块薄板（主部 3a²da）、三根细棱、一个小立方。
画过这张图的人，以后看到任何"微元"都不会发怵——因为你亲手拆过一次。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是把 Δy 和 dy 弄混、忘了乘 dx、相对误差没除以原值，还是纯算错？