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第 1 幕
"积分靠猜"，那到底在猜什么
第十二页留了一句话：求导是机械的，积分是猜的。
但"猜"不是瞎猜。你猜的其实是同一个问题：
这个式子，是不是某条求导法则算出来的结果？
求导法则一共就那么几条。把它们一条一条倒过来，就是这一章的全部内容：
左边你早就会了，右边只是换个方向读
求导法则 倒过来 ⟹ 和差：(u±v)′ = u′±v′ 逐项积分（第十二页已有） 链式：[f(g)]′ = f′(g)·g′ 换元积分法 4.2 乘积：(uv)′ = u′v + uv′ 分部积分法 4.3 商：(u/v)′ = … 没有对应方法 —— 第 7 幕说
换元和分部不是两个技巧，是两条求导法则的倒影 。原式是被哪条法则生出来的 。
第 2 幕
换元 = 链式法则倒过来
链式法则说：[F(g(x))]′ = f(g(x))·g′(x) 。两边积分立刻得到——
∫ f(g(x))·g′(x) dx = F(g(x)) + C
关键在于认出那个 g′(x)dx 。而第十四页 刚告诉过你它是什么：
g′(x) dx = dg
拿 ∫ 2x·ex² dx 走一遍，点按钮一步一步看：
① 原式
② 认出 dg
③ 换元
④ 积分并换回
看清楚第 ② 步在干什么：把 2x dx 收进了 d(x²) 里面 。凑微分 ，它整个建立在第十四页那句"dy 和 dx 是可以搬动的零件"上 。
所谓"凑"，凑的就是这个 dg 。不是凑答案，是凑出一条链式法则的痕迹。
第 ② 步把 2x dx 写成 d(x²) ——凭什么可以这么写？ 靠的是哪一页的什么结论？
靠第十四页（微分） 那条 dg = g′(x)dx 。dx 只是个挂在末尾的记号，根本不能单独搬动 ；dx 和 dg 都是实实在在的量，才可以这样互相改写。所以"凑微分"这个名字是老实的——凑的真就是那个微分。
第 3 幕
⚠️ 支点：两类换元方向相反，别搞混
同样叫"换元"，第一类和第二类的方向是反的 ：
第一类往里收，第二类往外换
看清方向之后，剩下的坑就都有名字了。四个开关，各踩一次：
正常：换了也换回来了
忘了换回原变量
第二类换元 φ 不单调
定积分换元没换限
⚠️ 记住这一条对照，能省掉一半的错：不定积分 换元 → 最后必须换回原变量 （题目问的是 x 的函数）定积分 换元 → 换限就不用换回 （答案是个数，谁当变量无所谓）
定积分换元为什么可以不换回原变量 ，不定积分却必须换回？
因为两者要的东西不一样。不定积分 要的是一族关于 x 的函数 ——答案里留着 u，等于没回答问题。定积分 要的是一个数 。第十三页说过：∫ₐᵇf(x)dx = ∫ₐᵇf(t)dt ，积分变量叫什么根本不影响那个数 。
第 4 幕
分部 = 乘积法则倒过来
乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′ 。移项、两边积分：
∫ u dv = uv − ∫ v du
注意它没有把积分"算掉"，只是换成了另一个积分。 交换难度 ，不是消灭难度。u ，新积分更容易；选错了，越换越难。
拿 ∫ x·ex dx 试两种选法：
选 u = x ✓
选 u = ex ✗
分部把一个积分换成了另一个积分。那什么时候才算成功 ？会不会永远换不完？
两种算成功：新积分更简单 ，直接能算出来（如 ∫x·eˣdx ，一次就收工）；转一圈转回了原式 ——比如 ∫eˣsin x dx 分部两次后右边又出现了它自己，这时候把它当未知数移项解出来 ，一样是成功。u 时才会越换越难（幂次一路升高）。所以每做一次分部，先看一眼新积分有没有变简单 ——没有就立刻换个选法，别硬撑。
第 5 幕
u 该选谁：一句口诀，一条道理
口诀：反、对、幂、指、三 —— 排在前面 的那个选作 u 。
顺序 类型 为什么排在这儿 1 反三角 求导之后变成有理式 ，大化简 2 对数 ln x 求导变成 1/x，摆脱了 log 3 幂 xⁿ 求导降一次幂，多来几次就没了 4 指数 eˣ 求导原地不动，当 dv 正合适 5 三角 同上，转一圈还回来
口诀背后只有一条道理 u 要选求导之后会变简单 的那个；dv ，因为它积一次也不会变复杂 。ex 和三角总是垫底：它们求导既不简化，积分也不恶化。
∫ ln x dx 里只有一个函数，怎么用分部？ 把看不见的那个 1 请出来：∫ ln x · 1 dx 。对数排在幂前面 ，所以 u = ln x ，dv = dx （即 v = x ）。= x ln x − ∫ x · (1/x) dx = x ln x − x + C 。"只有一个函数"从来不是不能分部的理由 ——缺的那个补 1 就行。
第 6 幕
定积分版：换元一定要换限（5.3）
方法一模一样，只多一件事，而这件事是本节最高频的失分点 ：
变量换了，区间也得跟着搬家
例 ∫₁e (ln x / x) dx ，令 u = ln x ，du = dx/x x = 1 ⟹ u = ln 1 = 0 · 上限：x = e ⟹ u = ln e = 1 = ∫₀¹ u du = 1/2 。算完直接就是答案，不用换回 x。
分部的定积分版同理，只是把 uv 那一截也代上下限：
∫a b u dv = [uv]a b − ∫a b v du
⚠️ 换了变量却没换限，是这一节压倒性的第一大错 。写下新变量的那一刻，立刻把两个限也算出来写在积分号上 ，别留到最后。
第 7 幕
那条没有倒影的法则
回到第 1 幕那张表的最后一行：商法则没有对应的积分方法。
求导时 (u/v)′ 有现成公式；可反过来，没有任何一招叫"商的积分法" 。遇到分式只能绕：
遇到的分式 只能这么绕 ∫ (2x)/(x²+1) dx 凑微分：分子正好是分母的导数 ∫ (x+3)/(x²−1) dx 拆成部分分式，再逐项积（4.4 ） ∫ 1/(x²+a²) dx 凑成 arctan 的样子
关于 4.4「有理函数的积分」 把一个有理分式拆成几个简单分式之和 。纯代数活 （待定系数解方程组），没有可画的图，所以本站不单独成页。练法很直接 ：照着课本例题拆五六个，手熟就行——它不考理解，只考细心。
四条求导法则，只有三条能反演 。结构性原因 ——
第 8 幕
整节话，就这三行
换元 = 链式法则的倒影 ，靠 g′(x)dx = dg 把式子收简单。分部 = 乘积法则的倒影 ，它交换难度而不消灭难度，u 选求导后变简单 的。定积分换元必须换限 ；换了限，就不必换回原变量。
今 天 的 任 务
八道，每道做完照例求导验一遍
第十二页立的规矩继续有效：每道答案下面写一行验算 。这一章尤其要坚持——换元换来换去，最容易在中途丢东西。
∫ 2x·ex² dx 就是第 2 幕那道。自己完整走一遍四步 ⚠️ ∫ sin x cos x dx 分别令 u = sin x 和 u = cos x，各做一遍 两个答案长得完全不一样。它们矛盾吗？相减看看差多少
⚠️ ∫ x·ex dx 两种选 u 的方式各做一遍把"越换越难"那条路也写在纸上 ，别只写对的那条
∫ ln x dx 只有一个函数。想想第 5 幕那道闸门 ∫ x sin x dx 按口诀选 u ⚠️ ∫₁e (ln x / x) dx 用换元法换限那两个数，写在积分号上再往下算
⚠️ ∫₀π/2 sin x cos x dx 先用"换元并换限"做一遍，再用"换回原变量"做一遍两条路应该殊途同归。哪条更省事？
⚠️ 为什么没有"商的积分法则"？遇到分式该怎么办列出你知道的三条绕法。这题考的是第 7 幕
第 2 题是这一页最值钱的一道：两个答案 sin²x/2 和 −cos²x/2 看着毫不相干，相减却正好是常数 1/2 。第十二页 那条"两个原函数只差一个常数"的活例子——而"只差常数"是中值定理保证的。
对完答案，每道错题旁只写一句：忘了换回原变量 、换元没换限 、u 选反了 、凑微分时漏了系数 ，还是纯算错 ？