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第 1 幕
背得下来，不等于用得动
四条法则你都会背。但试试这个：(u·v·w)′ = ?
背公式的人会卡住，因为表上没有三个函数相乘那一条。而知道乘积法则那张图长什么样的人，一眼就能推出来。
法则表是结果，不是理由。
这一节把四条法则各自还原成一张图：
矩形、齿轮、镜子、以及一条根本不用记的。
第 2 幕
⚠️ 支点：乘积法则就是一块长方形
一块长方形，长 u、宽 v，面积 A = uv。
现在长增加 du，宽增加 dv——面积多出来的是哪几块？
三块，其中两块是"正经"的，一块是零头：
右边一条 v·du · 上边一条 u·dv
角上一小块 du·dv —— 两个无穷小相乘，高阶，扔掉
于是 dA = v du + u dv，也就是——
(uv)′ = u′v + uv′
这张图你其实见过：第十四页那块正方形铁板，就是它在 u = v = x 时的特例。
当时得到 (x²)′ = 2x——现在你知道那两条长条为什么是"两条"了：一条来自长，一条来自宽。
乘积法则不是公式，是一块长方形被撑大时多出来的面积。
记住这张图，(uvw)′ 你自己就能推——把长方形换成长方体，多出来的是三块薄板。
照这张图，(u·v·w)′ 应该是什么？先自己写出来，再想想图上对应哪几块。
u′vw + uv′w + uvw′——三项，每项恰好有一个带撇。
图上就是长方体被撑大时的三块薄板：各自贴着一个面，厚度分别是 du、dv、dw。
剩下的三根细棱和一个小立方，全是高阶无穷小，一起扔掉。
推广到 n 个也一样：n 项，每项换一个函数带撇。
第 3 幕
链式法则就是齿轮的传动比
y 跟着 u 变，u 又跟着 x 变。那 y 相对 x 变多快？
中间那一级转得快，最终就跟着快——倍数相乘
dy/dx = (dy/du) · (du/dx)
用微分记号写出来，它看着就像约分
中间那个 du 上下一消，剩下 dy/dx——形式上严丝合缝。
这正是第十四页给 dx 发身份证换来的好处：记号自己会提醒你怎么用。
⚠️ 但要说清楚："约分"是助记，不是证明。
严格证明还要处理 Δu = 0 这类情形。记号方便，不代表可以不管前提——这句话第十四页也说过。
链式法则写成 (dy/du)·(du/dx) 时中间的 du "约掉了"。这是巧合，还是有道理？
有道理，但它是助记不是证明。
有道理：因为第十四页之后 dy、du、dx 都是实实在在的量，写成分式本来就名副其实。
但严格证明还要处理 Δu = 0 这类情形，不能单靠"约分"两个字交差。
这就是好记号的价值：它让正确的做法看起来显然——不过"看起来显然"和"已经证明"是两回事。
第 4 幕
反函数求导就是把图翻过来
y = f(x) 和 x = f−1(y) 画的是同一条曲线，只是把纸转了个方向看。
把图沿 y = x 翻折之后，切线也跟着翻——而翻折会把斜率变成它的倒数：
同一个点，翻折前斜率 3，翻折后就是 1/3
(f−1)′(y) = 1 / f′(x)
arcsin 的导数就是这么来的
y = arcsin x ⟺ x = sin y，于是 dx/dy = cos y，
dy/dx = 1/cos y = 1/√(1 − sin²y) = 1/√(1 − x²)。
不用背——翻过来求一次导，再把 y 换回 x 就行。
第 5 幕
商法则：唯一一条不必单独记的
设 w = u/v，也就是 u = w·v。两边求导，用刚才那块长方形：
- u = w·v把除法改写成乘法
- u′ = w′v + wv′对上式用乘积法则
- w′ = (u′ − wv′) / v解出 w′
- w′ = (u′v − uv′) / v²把 w = u/v 代回去，通分
商法则是乘积法则的推论。
四条法则里，真正独立的只有三条。
这件事和上一页那个发现正好对上：
上一页说——商法则没有积分方面的倒影，四条法则只有三条能反演；
这一页说——商法则连在求导这边都不是独立的，它本来就是乘积法则解出来的。
两边一对照，「商」这条法则的地位就清楚了：它是个方便的推论，不是一块地基。
第 6 幕
高阶导数（2.3）：一层一层往下求
求导得到的还是函数，那就可以再求一次。记号 f″、f‴、f(n)，或者 dny/dxn。
这条链在工程上每一层都有名字，而且每一层你都感觉得到：
| 第几阶 | 物理量 | 你的身体怎么感觉到它 |
|---|
| s | 位置 | 你在哪儿 |
| s′ | 速度 | 窗外景物移动的快慢 |
| s″ | 加速度 | 推背感 —— 把你压在椅背上的那个力 |
| s‴ | 急动度 jerk | 推背感变化的快慢 —— 那一下"顿挫" |
第三阶不是数学家的玩具，它是舒适性指标
地铁起步时那一"窜"、电梯到站前那一"沉"，加速度本身可能不大，难受的是它变化太快。
所以电梯、高铁、自动驾驶的控制算法里都有一条硬约束：限制 jerk。
车辆的悬架调校和制动曲线设计，管的就是这一阶。
二阶导你其实早就用过：第九页用 f″ 判凹凸——
"一阶导告诉你往哪走，二阶导告诉你怎么拐"。现在只是继续往下数而已。
加速度只有 2 m/s²，为什么有的车坐着舒服、有的却让人一顿？
差别在第三阶。
同样从 0 加到 2 m/s²，用 0.2 秒完成和用 2 秒完成，加速度的最大值一模一样，可 jerk 差了十倍——
前者是"被踹了一脚"，后者是"被托起来"。
你身体感觉到的"顿挫"，量的从来不是加速度本身，而是它的变化率。这也是为什么电梯和高铁的控制器里都写着一条 jerk 上限。
第 7 幕
一个看得见的 n 阶导数
大多数函数求几次导就面目全非。但有两个例外，规律漂亮得能画出来：
(sin x)(n) = sin(x + nπ/2)
每求一次导，整条正弦波就向左平移 90°。拖动看看：
四次一循环：sin → cos → −sin → −cos → sin。所以 (sin x)(100) 不用真求一百次——100 除以 4 余 0，答案就是 sin x。
另一个例外更极端
(ex)(n) = ex —— 求多少次都原地不动。
它是求导这个操作唯一的不动点，这也是 e 在整个微积分里无处不在的原因。
求 (sin x)(100) 和 (cos x)(101)，不许真的求一百次。
看余数就行。
100 ÷ 4 = 25 余 0 ⟹ 回到原点，(sin x)(100) = sin x。
101 ÷ 4 = 25 余 1 ⟹ 从 cos 往前走一步，(cos x)(101) = −sin x。
四步一循环，只看余数——这就是把规律画出来的好处：图上转一圈，答案就出来了。
第 8 幕
整节话，就这四行
乘积法则＝长方形被撑大时多出来的两条（角上那块是高阶，扔）
链式法则＝齿轮传动比相乘，用微分记号写出来像约分
反函数＝沿 y=x 翻折，斜率取倒数
商法则＝乘积法则的推论，四条里真正独立的只有三条
高阶导数只是继续往下求：第二阶是加速度，第三阶是急动度，管的是坐得舒不舒服。
今 天 的 任 务
八道，第 2、3、8 题考的是"图"不是"公式"
凡是用法则的题，先在旁边写一句"用的是哪条、为什么是它"。写不出这句话，说明你还在背公式。
- 求 (x² sin x)′标准乘积法则。热身
- ⚠️ 推出 (u·v·w)′，并画出对应的立体图，指出被扔掉的是哪几块三块薄板留下，三根细棱和一个小立方扔掉。这张图第十四页第 8 题让你画过
- ⚠️ 自己把商法则推一遍（第 5 幕那四行，不看答案写）推完你就不用再记它了
- 求 (sin(x²))′，写明内外函数各是谁顺便说说：如果搞反了会得到什么
- ⚠️ 用反函数求导法则推出 (arcsin x)′ = 1/√(1−x²)照第 4 幕那三行走。最后一步别忘了把 y 换回 x
- 求 (ex)(100) 与 (sin x)(100)都不许真的求一百次
- ⚠️ 电梯位移 s(t)：写出速度、加速度、急动度的表达式，并说明工程上为什么要限制急动度答案里要出现"加速度本身不大，难受的是它变化太快"这个意思
- ⚠️ 为什么说"四条法则里真正独立的只有三条"？并说说这件事和上一页（换元与分部）有什么呼应这题把两页连起来考。答得出来，说明你看的是结构不是条目
第 2 题请真的把立体图画出来。
画过一次的人，以后遇到任何"多个东西一起变"的问题（多元函数的全微分、误差合成）都会先想到拆薄板——那是同一张图。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是用错了法则、内外函数搞反、忘了把 y 换回 x，还是纯算错？