课本对照表

上 册 · 七 章 44 节已全部处理完毕

第一章　函数与极限10 节 · 已有 9

• 1.1映射与函数课本第一节、全书最后一页：先有定义域再有对应法则；水平线检验＝反函数存在的条件；「初等」说的是记号的能力✅ 已有
• 1.2数列的极限0.999… 等不等于 1；把「越来越接近」翻译成一场 ε-N 对赌✅ 已有
• 1.3函数的极限左右极限的动机 · ε-δ 全套见 深度学习资料✅ 已有
• 1.4无穷小与无穷大给「忽略」一个合法身份✅ 已有
• 1.5极限运算法则凭什么可以拆开算；破坏那句前提，就得到七种未定式✅ 已有
• 1.6极限存在准则 · 两个重要极限从验钞机到印钞机✅ 已有
• 1.7无穷小的比较把「消失得更快」变成一个数✅ 已有
• 1.8函数的连续性与间断点为什么非要分成四种✅ 已有
• 1.9连续函数的运算与初等函数的连续性「连续」＝把极限符号挪进函数里的许可证，在 1.5 那一页第 6 幕▫ 并入 1.5
• 1.10闭区间上连续函数的性质四个白拿的保证✅ 已有

第二章　导数与微分5 节 · 全部覆盖 ✅

• 2.1导数概念前六页的账，在这里一次结清✅ 已有
• 2.2函数的求导法则四条法则四张图：长方形 / 齿轮 / 镜子 / 不用记的那条✅ 已有
• 2.3高阶导数已并入 求导法则 第 6–7 幕：位置→速度→加速度→急动度；sin 的 n 阶导数图解▫ 已并入
• 2.4隐函数及由参数方程确定的函数的导数不解出 y 直接求导；摆线的尖点；梯子的相关变化率✅ 已有
• 2.5函数的微分给 dx 这个符号发身份证；dy/dx 从此真的是一个商✅ 已有

第三章　微分中值定理与导数的应用8 节 · 全部覆盖 ✅

• 3.1微分中值定理从「一个点」通向「一整段」的桥✅ 已有
• 3.2洛必达法则一台自动比阶机，附一份没人读的说明书✅ 已有
• 3.3泰勒公式你的计算器里没有正弦✅ 已有
• 3.4函数的单调性与曲线的凹凸性一阶导定升降，二阶导定弯法✅ 已有
• 3.5函数的极值与最大值最小值候选名单：驻点 ∪ 不可导点 ∪ 端点✅ 已有
• 3.6函数图形的描绘完整体检四步 ＋ 渐近线第 7 幕（三种渐近线全靠极限；⚠️渐近线不是「碰不到的线」）✅ 已有
• 3.7曲率弯道为什么不能直线接圆弧；曲率圆／缓和曲线／材料力学的小挠度假设✅ 已有
• 3.8方程的近似解牛顿切线法＝泰勒砍到一次；二次收敛，但会循环/跑飞✅ 已有

第四章　不定积分4 节 · 已有 3

• 4.1不定积分的概念与性质把求导的箭头反过来✅ 已有
• 4.2换元积分法复合函数求导法则倒过来；凑微分靠 g′(x)dx = dg✅ 已有
• 4.3分部积分法乘积求导法则倒过来；交换难度而非消灭难度✅ 已有
• 4.4有理函数的积分纯代数活（待定系数拆部分分式）；定位与练法已在 换元与分部 第 7 幕交代— 不单独做

第五章　定积分4 节 · 全部覆盖 ✅

• 5.1定积分的概念与性质分割 · 近似 · 求和 · 取极限✅ 已有
• 5.2微积分基本公式求面积和求导数，原来是同一件事✅ 已有
• 5.3定积分的换元法和分部积分法已并入 换元与分部 第 6 幕；重点是换元必须换限▫ 已并入
• 5.4反常积分无限长不等于无限大；分水岭 p=1；⚠️硬套牛－莱会算出负面积✅ 已有

第六章　定积分的应用3 节 · 全部覆盖 ✅

• 6.1定积分的元素法微元法＝在一小段上把复杂量近似成「常数×dx」；零头必须高阶✅ 已有
• 6.2定积分在几何学上的应用面积/旋转体体积/弧长三个微元；⚠️能「证明」 π=4 的谬论错在哪✅ 已有
• 6.3定积分在物理学上的应用变力做功/水压力/引力；⚠️难点是切的方向，以及微元带方向✅ 已有

第七章　微分方程10 节 · 已有 8

• 7.1微分方程的基本概念通解／特解／初值条件——+C 那件事的正式版✅ 已有
• 7.2可分离变量的微分方程最基本的一招：把 x 和 y 各归各边✅ 已有
• 7.3齐次方程换元 u = y/x，化归成可分离变量✅ 已有
• 7.4一阶线性微分方程常数变易法；工程上最常见的一类✅ 已有
• 7.5可降阶的高阶微分方程三种可降阶的形状✅ 已有
• 7.6高阶线性微分方程解的结构：通解 = 齐次通解 + 一个特解✅ 已有
• 7.7常系数齐次线性微分方程特征根三种情形＝悬架三种阻尼；两根在复平面上撞头的那一刻就是临界阻尼✅ 已有
• 7.8常系数非齐次线性微分方程「撞上特征根就乘 x」那条技术规则，物理含义就是共振✅ 已有
• 7.9欧拉方程一个换元 x = eᵗ 就化成常系数，属于窄技巧；已在 7.7/7.8 页末尾交代— 不单独做
• 7.10常系数线性微分方程组解法举例考纲边缘，已在 7.7/7.8 页一并交代（特征值版的同一件事）— 不单独做

下 册 · 五 章 33 节第八章开工

第八章　向量代数与空间解析几何6 节 · 已有 2

• 8.1向量及其线性运算自由向量凭什么可以搬来搬去；坐标就是投影；模不用背，勾股定理用两次✅ 已有
• 8.2数量积　向量积　＊混合积拧一次螺栓，「力乘距离」原来是两件事；你第一次遇到「乘法不能交换」；三条判据＝垂直/平行/共面✅ 已有
• 8.3平面及其方程空间里定一个平面最少要给几个数；(A,B,C) 凭什么就是法向量⏳ 待补
• 8.4空间直线及其方程点向式／参数式／一般式；直线与平面的各种夹角⏳ 待补
• 8.5曲面及其方程x²+y²=1 在平面上是圆，在空间里是无限长的圆柱；二次曲面从方程认形状⏳ 待补
• 8.6空间曲线及其方程投影；这一节是重积分的入场券——定限定的就是投影区域⏳ 待补

第九章　多元函数微分法及其应用8 节 · 已有 0

• 9.1多元函数的基本概念一元的极限沿一条线来，多元的可以沿无穷多条路来⏳ 待补
• 9.2偏导数其余变量按住不动，只让一个动⏳ 待补
• 9.3全微分上册第十四页那块铁板，换成两个方向一起变⏳ 待补
• 9.4多元复合函数的求导法则链式法则长出了分支⏳ 待补
• 9.5隐函数的求导公式上册 2.4 的多元版⏳ 待补
• 9.6多元函数微分学的几何应用切平面与法线——整节的语言全是第八章的⏳ 待补
• 9.7方向导数与梯度「沿某个方向的变化率」写出来就是一个数量积⏳ 待补
• 9.8多元函数的极值及其求法驻点不是结论那件事再来一次；拉格朗日乘数法⏳ 待补

第十章　重积分4 节 · 已有 0

• 10.1二重积分的概念与性质上册第十三页那四步，把「切成小段」换成「切成小块」⏳ 待补
• 10.2二重积分的计算法全部难点在定限，而定限定的是 8.6 那个投影区域⏳ 待补
• 10.3三重积分再加一层；柱面坐标与球面坐标是为省事发明的⏳ 待补
• 10.4重积分的应用质心／转动惯量／引力——上册第二十二页那套句式的多元版⏳ 待补

第十一章　曲线积分与曲面积分7 节 · 已有 0

• 11.1对弧长的曲线积分沿一条弯路积分；ds 就是上册第二十一页那个弧微分⏳ 待补
• 11.2对坐标的曲线积分变力沿曲线做功；这一类带方向，反过来走要变号⏳ 待补
• 11.3格林公式及其应用边界上的积分＝内部的积分，牛顿–莱布尼茨的平面版⏳ 待补
• 11.4对面积的曲面积分把 dS 摊开成投影上的 dxdy⏳ 待补
• 11.5对坐标的曲面积分通量 ∬ v·n dS，逐字就是 8.2 例 3 加一次微元法⏳ 待补
• 11.6高斯公式　＊通量与散度格林公式升一维⏳ 待补
• 11.7斯托克斯公式　＊环流量与旋度旋度的定义里就有一个向量积⏳ 待补

第十二章　无穷级数8 节 · 已有 0

• 12.1常数项级数的概念和性质无穷多个数相加是什么意思——上册第十七页那座砖塔的正主⏳ 待补
• 12.2常数项级数的审敛法比较／比值／根值；和上册 5.4 反常积分是同一件事的离散版⏳ 待补
• 12.3幂级数收敛半径⏳ 待补
• 12.4函数展开成幂级数上册第十页泰勒公式的无限版：余项终于被扔掉了⏳ 待补
• 12.5函数的幂级数展开式的应用算 sin 1 那件事的完整答案；欧拉公式在这里出生⏳ 待补
• ＊12.6函数项级数的一致收敛性及其性质带星号；逐项求导凭什么合法⏳ 待补
• 12.7傅里叶级数用三角函数拼方波；振动分析与信号处理的地基⏳ 待补
• 12.8一般周期函数的傅里叶级数周期不是 2π 怎么办⏳ 待补