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第 1 幕
同样是「力乘距离」，拧螺栓那一下和推箱子那一下，不是同一个乘法
中学物理里有两个公式，长得几乎一样：
W = F · s （功） M = r × F （力矩）
两个都是「力乘距离」。可它们乘出来的东西，压根不是同一类东西。
左：推箱子，力与位移顺着 来，乘出来是一个数（焦耳）。右：拧螺栓，力与力臂横着 来，乘出来还带一个方向（螺栓往哪边转）
拿一把 0.3 m 的扳手，用 100 N 的力：垂直推，力矩 30 N·m ；沿着扳手推，力矩是 0，一点也拧不动 ——可你的手明明累得很，功一点没少做。
所以「两个向量相乘」这件事，必须分成两种。 「有多少是顺着来的」 ，答案是一个数 ——叫数量积 a·b ；「有多少是横着来的」 ，答案是一个向量 ——叫向量积 a×b 。不是数学家爱折腾。是这两个问题从物理上就是两个问题。
顺带回答一个你翻开下册时大概会问的问题：为什么下册第一章不讲微积分，讲这个？
第九章要求偏导数、方向导数、梯度 → 「沿某个方向的变化率」，方向 这个词得先有记号
方向导数写出来就是一个数量积 第九章要求曲面的切平面与法线 → 全程说的是「法向量」
那一节的语言，一个字都不是新的，全是这一章的 第十章重积分要定积分区域 → 你得先能把一个空间区域画出来、写成方程
画不出积分区域，重积分一道也做不了 第十一章曲面积分要给曲面「定向」 → 哪一面算正，靠的是右手法则和法向量
这一章第 4 幕就会遇到右手法则
第八章是看不见的地基。 它自己不解决任何一道让你觉得「厉害」的题，
可后面四章每一句话都踩在它上面。上册第一页那条老规矩在这儿也一样：1.1 看着像热身，其实是施工规范。
先立一笔账，第 3 幕还。 第二十二页 （定积分的物理应用）算引力时，遇到过一个当时只能靠画图说明的动作：
质点不在延长线上，各段拉的方向不一样，必须先把每一小段的力投影到一个方向上，再分别积分 ，
直接积 |dF| 必然偏大。那个「投影」，就是数量积。 今天给它一个记号，它就从一句几何说明变成一次可以计算的运算。
第 2 幕
先把向量本身立起来：它凭什么可以搬来搬去（8.1）
向量＝既有大小又有方向 的量。课本紧接着补了一句最容易被跳过的话：我们只研究「自由向量」 ——只看大小和方向，不管它的起点在哪儿 。
这句话不是废话，它是一道许可 ：正因为起点不管，你才可以把 b 平移到 a 的终点去，接成一个三角形 。
左：三个箭头位置不同，但大小方向相同，它们是同一个向量 a 。右：接尾法（三角形法则）＝力的合成，与平行四边形法则是同一件事
加法之外只剩一件事：数乘 。λa 就是把 a 拉长 |λ| 倍，λ<0 时反向。加法＋数乘合称线性运算 ——整个 8.1 只有这两样。
数乘唯一值钱的地方是它给了「平行」一个代数说法。 定理 1 ：设 a ≠ 0 ，则 b ∥ a ⟺ 存在唯一的实数 λ 使 b = λa 。b = λa 」可以算。整章的套路从这里开始：把几何关系翻译成能算的式子。
取定原点和三个两两垂直的单位向量 i 、j 、k ，任何向量就能写成三个数：
a = ax i + ay j + az k = (ax , ay , az )
这三个数是什么？课本在 8.1 最后一小节才点明：它们就是 a 在三条坐标轴上的投影。 先记住这句，第 3 幕它会变成一行式子。
模的公式不用背：勾股定理用两次 ——先在底面上用一次得 √13，再立起来用一次得 7
|r | = √(x² + y² + z²) （图中：√(4 + 9 + 36) = 7 ）
把 r 除以自己的模，得到同方向的单位向量 er = r/|r| 。它的三个坐标就是 r 与三条轴夹角的余弦，叫方向余弦 。于是那条公式
cos²α + cos²β + cos²γ = 1
也不是新东西，它就是「单位向量的模等于 1」换个写法。
图里 r = (2, 3, 6) ，|r| = 7 。① 与它同方向的单位向量是什么？
② 若把三个坐标全变号得到 −r ，模变不变？三个方向余弦变不变？
① er = (2/7, 3/7, 6/7) 。验一下：(4+9+36)/49 = 1 ✓② 模不变 （|−r| = |r| = 7 ，模只管长度）；三个方向余弦全部变号
（−2/7, −3/7, −6/7 ），因为方向整个反了。注意平方和仍然是 1 ——这说明 cos²α + cos²β + cos²γ = 1
只锁住了「是不是单位长度」，锁不住方向 。一个恒等式能告诉你的事，永远只有它写出来的那一点。
第 3 幕
第一种乘法：数量积＝「有多少是顺着来的」
从功出发：W = |F| |s| cos θ 。把这个动作抽象出来，就是
a · b = |a | |b | cos θ （θ 是两向量的夹角，规定 0 ≤ θ ≤ π）
由于 |b| cos θ 正是 b 在 a 方向上的投影 ，这个定义还有一个更好用的读法：
a · b = |a | · Prja b （一个的模 × 另一个在它身上的投影）
左：夹角是锐角，投影是正的。右：夹角是钝角，投影是负的，数量积也是负的 ——b 在顶着 a 来
⚠️ 数量积会是负数 ，这一点比它的公式重要。a·b > 0 ＝ 大体同向；= 0 ＝ 垂直；< 0 ＝ 大体反向。刹车时摩擦力做负功，就是这个负号 ：力与位移的夹角是钝角。
把 a 、b 都拆到 i 、j 、k 上，利用 i·i = 1 、i·j = 0 这些（它们本身就是「单位」和「两两垂直」这两句话 ），九项里活下来三项：
a · b = ax bx + ay by + az bz
于是两件事当场落地：
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
整章最常用的一条。第 7 幕之后你会发现，下一节讲平面的时候整节只靠它 cos θ = (a ·b ) / (|a | |b |)
算空间里两个方向的夹角，这是唯一实用的工具——你没有量角器
a · a = |a |²
θ = 0，cos 0 = 1。求模这件事也被收进了数量积
第 2 幕那句「坐标就是投影」，现在可以写成一行了： a·i = ax ，a·j = ay ，a·k = az 。向量的坐标，就是它与三个基向量的数量积。
「取坐标」这个看起来最平淡的动作，本身是一次投影、也就是一次数量积。
还第二十二页那笔账。 各段的力方向不同，不能直接把大小加起来，必须先投影。 用手画出来的 ：画一条辅助线，看夹角，乘一个余弦。要 dF 沿方向 e 的分量，就写 dF·e 。顺带把那一页的第一幕也补完整。 那一幕的结论是：「力×距离这个乘法，只在距离对每一份都相同时才成立；乘法一失效，积分就该上场」 。乘法失效还有第二个原因——方向不一致。而这时候接手的不是积分，是数量积。
课本例 3 值得单独看一眼：液体以恒定速度 v 流过面积 A 的一小片平面，n 是这片平面的单位法向量，则单位时间流过的质量是
m = ρ A (v · n )
只有「垂直穿过去」的那一部分速度算数 ，贴着面走的那部分一点贡献都没有——而「取出垂直穿过的那部分」就是 v·n 。
这个式子先记下，第十一章会整章用它。
曲面积分里的通量 ∬Σ v·n dS ，逐字就是这个例子加上一次微元法（上册第二十一页那套动作）：
把曲面切成一小片一小片，每片上写 v·n dS ，再加起来。下册看着有五章，其实是同一套动作换四个场地。
习题 8-2 最后一题要你证明：√(a₁²+a₂²+a₃²) · √(b₁²+b₂²+b₃²) ≥ |a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃| 。
这个看着挺唬人的代数不等式，用今天的记号一句话就能说清。是哪一句？
左边是 |a| |b| ，右边是 |a·b| 。而 a·b = |a||b| cos θ ，所以这个不等式说的只是：|cos θ| ≤ 1。 cos θ = ±1 ⟺ 两个向量平行（同向或反向） ，
也就是 a₁ : a₂ : a₃ = b₁ : b₂ : b₃ （其中一个为零向量时也成立）。柯西不等式 。纯代数地证它要费点力气，翻译成几何它就没有内容了 ——
这是这一章最值钱的收益：换一套记号，难题会变成废话。
第 4 幕
第二种乘法：向量积＝「有多少是横着来的」，而且还给你一个方向
回到扳手。力矩 M 要说三件事：转得多用力 （大小）、绕哪根轴转 （方向）、朝哪边转 （正负）。一个数装不下，所以它必须是个向量。
课本的定义把这三件事逐条写死：
|a × b | = |a | |b | sin θ
正好是 a、b 张成的那个平行四边形的面积
a × b ⊥ a ，且 ⊥ b
垂直于这两个向量决定的整张平面 朝哪一边：右手法则 ——四指从 a 转向 b ，大拇指指的就是 a × b
⚠️ 这是一次约定，不是可以证明的事。但约定一旦定下，全世界的教科书都得照着来
用 i×j = k 、j×k = i 、k×i = j （三个循环着来 ，反过来带负号）展开，得到坐标式：
a × b = (ay bz − az by , az bx − ax bz , ax by − ay bx )
这三项谁都记不住，所以课本给了个记忆装置——三阶行列式 ：第一行摆 i 、j 、k ，第二行摆 a ，第三行摆 b 。
⚠️ 它只是记忆装置，不是定义 。第一行放的是三个向量 而不是数，
严格说来那不是一个合法的行列式。用它算完，务必用第 3 幕那条判据验一次 ：
把结果分别与 a 、b 做数量积，两次都应该得 0 。这是上册第十二页那条规矩的老朋友：能自带验算的地方，一定要验。
手上先算一个（作业第 1 题会让你重算一遍并验算）：a = (2,1,−1) ，b = (1,−1,2)
a × b = (1·2 − (−1)(−1), (−1)·1 − 2·2, 2·(−1) − 1·1) = (1, −5, −3)
验：(1,−5,−3)·(2,1,−1) = 2 − 5 + 3 = 0 ✓ (1,−5,−3)·(1,−1,2) = 1 + 5 − 6 = 0 ✓
「面积」这个附赠品比想象中好用。 三角形三个顶点给你，求面积——中学要先算三边再用海伦公式，现在两个向量叉一下取一半就完了：
S△ABC = ½ |AB × AC |
还上册第十九页摆线那笔账。 真圆、真贴地、不打滑 。当时没解释的是：贴地那一点凭什么速度是零？ O ，则点 M 的线速度是
v = ω × r ω 是角速度向量，沿轴，方向也由右手法则定）。vc = ωR 向前。看接地点：
它绕轮心转动带来的速度 ω × r 大小也是 ωR，方向正好向后 ，与 vc 抵消——合速度为零 。这就是「不打滑」的定义本身，也是那张图为什么能画成贴地的。
用扳手拧螺栓，为什么沿着扳手方向使劲是白费力气？ 请指出 M = r × F 里是哪个因子归零了；
并说出这时候 r · F 是大还是小。
|M| = |r| |F| sin θ ，沿着扳手推时 θ = 0 ，sin θ = 0 ，力矩整个为零。cos θ = 1 ，r·F 反而取到最大值 ——你的力气全花在「把扳手往外拽」上了。 同一对向量、同一个夹角，一种乘法满格的时候，另一种恰好归零。 下一幕就把这件事拖成一个滑块，让你看它们怎么此消彼长。
第 5 幕
拖一下夹角：两种乘法此消彼长，可它们的总量是个常数
固定 |a| = 3 、|b| = 2 ，只让夹角 θ 从 0° 转到 180°。盯住两个读数 。
夹角 θ =
那个恒等的 36 不是巧合。 (a·b)² + |a×b|² = (|a||b| cos θ)² + (|a||b| sin θ)² = (|a||b|)² ——就是 sin² + cos² = 1 穿了件衣服。 它说的事很硬：数量积和向量积，分的是同一块信息。 各拿一半，合起来才把一对向量的关系说完。
这个「一升一降」的形状，上册见过一次。 sin x < x < tan x 三块面积互相挤，靠的也是同一个 sin 与 cos 的交换。差别在于：那一页要的是极限，这一页要的是「两个乘法各管一半」这个事实。
第 6 幕
⚠️ 支点：实数乘法那几条你从没怀疑过的性质，向量这里一条条塌掉
「乘法」这个词让人放松警惕。可它在向量这里已经不是你熟悉的那件事了。
四个开关，每一个都给出具体数字的反例 ——不是「据说不成立」，是你能亲手算出两个不同的答案 。
① 交换律：a×b = −b×a
② 消去律：两种乘法都没有
③ 乘出零，因子却都不是零
④ 结合律：括号不能挪
第 ② 个开关是这一幕真正的收获，值得单独写一遍。 数量积只看「顺着 c」的那部分 ，所以你可以在垂直方向上随便改，它认不出来；向量积只看「横着 c」的那部分 ，所以你可以沿着 c 随便加，它也认不出来。两种乘法各自都是「半盲」的。这就是为什么必须有两种，而不是一种。
⚠️ a×b ≠ b×a，大概是你数学生涯里第一次遇到「乘法不能交换」。 它是在提醒你：从今天起，凡是从实数搬过来的直觉，都要先问一句
「这条在向量里还成立吗」 。AB ≠ BA ，你会第二次撞上同一件事。
a · (b · c) 这个式子为什么压根写不出来 ？b·c 是什么类型的东西。）b·c 是一个数 。而「数」与「向量」之间没有定义过点乘 ——
点乘的两边必须都是向量。a·(b·c) 不是「等于某个东西」，而是连式子都不成立 ，
像写 sin(红色) 一样。(a·b)c 完全合法（数 × 向量 ＝ 数乘），
而且它与 a(b·c) 一般不相等 ——习题 8-2 第 9(1) 题
(a·b)c − (a·c)b 就是在练这件事。记号本身在拦你。看不懂一个式子的时候，先做类型检查：这一步的两边，各是数还是向量？
第 7 幕
两种乘法接在一起：混合积，一次量出一个体积（＊8.2 三）
既然 a×b 是向量，就可以再和第三个向量做数量积。这个数叫混合积 ：
[a b c ] = (a × b ) · c = 以 a、b、c 为棱的平行六面体体积（带符号）
底面积 ＝ |a×b|（第 4 幕那个平行四边形），高 ＝ c 在 a×b 方向上投影的绝对值（第 3 幕那次投影）。底 × 高 ＝ 体积
两步全是今天学的：向量积量出底面积，数量积量出高。 写成坐标就是三阶行列式（这一次是真行列式，三行都是数）：
[a b c ] = det (ax ay az ; bx by bz ; cx cy cz )
于是又白拿一条判据： 三个向量共面 ⟺ [abc] = 0 （压成一张纸，六面体体积当然是 0）。三条判据齐了 ：a·b = 0 ⟺ 垂直 · a×b = 0 ⟺ 平行（共线） · [abc] = 0 ⟺ 共面「垂直 / 平行 / 共面」这三个几何词，从今天起全部可以用算式判定，不用画图。
⚠️ 混合积带符号 ：a, b, c 成右手系时为正，左手系时为负。
这个符号不是累赘 ——第十一章给曲面「定哪一面算正」，用的就是它。
接下来这一章要干的四件事，用今天这两把工具就能预告：
留一笔债给下一页。 Ax + By + Cz + D = 0 。课本会说：系数 (A, B, C) 就是这个平面的一个法向量 。方程的系数凭什么就是一个几何方向？ 答案整个藏在今天这一条里：a·b = 0 ⟺ 垂直。 下一页第一件事就是还这笔账。
车辆工程这一头，第八章不是绕远路： 力矩 M = r×F 是拧紧力矩、驱动扭矩、制动力矩的共同写法；v = ω × r 是传动轴、差速器、轮速传感器算出来的所有速度关系的源头；平面与直线方程 就是装配图上那些「基准面、轴线、夹角」的代数版；二次曲面 （8.5）是车身覆盖件曲面的最简形式。这一章教的是把图纸上的几何关系写成能算的式子——这件事本身就是工科的日常。
第 8 幕
整节话，就这三行
1. 两个向量之间只有两件事可问：有多少是顺着的 （数量积，得一个数 ）、
有多少是横着的 （向量积，得一个向量 ）。物理上一个是功，一个是力矩。2. 数量积丢掉垂直信息，向量积丢掉同向信息，各自都是半盲的 ；
(a·b)² + |a×b|² = (|a||b|)² —— 两个合起来才把一对向量的关系说完。 3. 「乘法」这个词在这里已经不作数了：交换律没了、消去律没了、结合律没了 。
从今天起，凡是从实数搬来的直觉，先问一句「这条在向量里还成立吗」。
顺手记下三条判据，它们是这一章后面五节的全部入场券： a·b = 0 ⟺ 垂直 · a×b = 0 ⟺ 平行 · [abc] = 0 ⟺ 共面 说「垂直」「平行」时，向量得不是零向量 ——
零向量与任何向量既平行又垂直，什么都判不出来。又是上册最后一页那条老规矩：先看前提，再用公式。
今 天 的 任 务
八道，全部写在纸上
前四道是手上的功夫，后四道是这一页真正要你留下的东西。标 ⚠️ 的四道，请把「错的那一份」也留在纸上。
设 a = (2,1,−1) ，b = (1,−1,2) 。求 a·b 、a×b 、b×a 、|a×b| ，并求两者夹角的余弦。
算完必须做两次验算：a×b 分别点乘 a 和 b，都应该是 0。没有这两行不算做完
三角形顶点 A(1,2,3) 、B(3,4,5) 、C(2,4,7) ，求面积。
再换一条路复算一次：先用 cos θ 公式求出 ∠A，再用 ½|AB||AC| sin A。两条路必须对上
⚠️ 扳手长 0.3 m ，力 100 N 。分别算力与扳手成 90°、30°、0° 时的力矩大小。
然后用一句话回答：第三种情形下你的手累不累？做功了吗？拧动了吗？把这三个答案分开写
已知 |a| = 3 ，|b| = 2 ，a·b = 4 。不求出坐标，直接求 |a×b| 。
用第 5 幕那个恒等式。这道题在提醒你：那个 36 不是装饰
⚠️ 取 c = (1,0,0) 。自己造 一组 a ≠ b 使 a·c = b·c ；再自己造 一组 a ≠ b 使 a×c = b×c 。
然后回答关键问题：两组里 b − a 各是什么方向？ （一个垂直于 c，一个平行于 c。）想不出来先翻回第 6 幕第 ② 态
⚠️ 算 (i×i)×j 与 i×(i×j) ，把两个结果并排写在同一行 。
再写一句：a·(b·c) 为什么连式子都不成立。这两问是一对，缺一个不算做完
已知 A(1,2,0) 、B(2,3,1) 、C(4,2,2) 、M(x,y,z) 四点共面，用混合积写出 x、y、z 满足的关系式。
算出来会是 2x + y − 3z − 4 = 0 。先别管它是什么，记住这个形状，下一页会告诉你它的名字
⚠️ 用 v = ω × r 说明车轮接地点的速度为零（画图标出 ω、r 与两个速度的方向）。
然后回头看上册第十九页那张滚轮图。用自己的话写一句：那张图为什么可以画成「贴地」的
八道题里，第 3、5、6 三道没有任何计算难度，可它们是这一页的正题。 「乘法」这个词，你还在按实数的老习惯用它吗？
八道写在纸上。第 5、6 题的答案，请把过程也留着。