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第 1 幕
一池水抽到池口，要做多少功
圆柱形水池，底面积 4 m²，水深 3 m。把水全部抽到池口，做多少功？
几乎每个人的第一反应都是 W = mgh：
水重 12000 kg，提升 3 m，W = 12000 × 9.8 × 3 = 352800 J。
这个答案是真值的整整两倍。
因为每一层水要走的路不一样长：
最上面那层几乎不用抬，最下面那层要抬满 3 米。
"力 × 距离"这个乘法，只在距离对每一份都相同时才成立。
一旦不同，乘法失效——而乘法一失效，积分就该上场了。
还第十三页一句话的账。
第十三页说过：分割、近似、求和、取极限这四步，不是为面积发明的，是为一切「把小份加起来」发明的。
当时那只是一句承诺。这一页就是来兑现它的。
第 2 幕
先从最简单的变力开始：弹簧
胡克定律：拉伸量 x 时，弹力 F = kx。力随位置变，所以功不能直接乘。
照上一页那个句式：在一小段位移 dx 上，力几乎不变——
dW = F(x) dx = kx dx ⟹ W = ∫₀ᵃ kx dx = ½ka²
力—位移图里，功就是曲线下的面积 —— 这不是比喻，是同一个积分
取 k = 200 N/m，拉长 0.1 m
W = ½ × 200 × 0.01 = 1 J。
用"最大力 × 位移"会得到 20 × 0.1 = 2 J——又是两倍。
有人说：力从 0 均匀涨到 ka，取平均力 ½ka 乘位移 a，也得 ½ka²，一样对。这个办法总是管用吗？
不总是。它在这里碰巧对，是因为 F 关于 x 是线性的。
换成 F = kx²：真值 ∫₀ᵃ kx²dx = ka³/3，
而"平均力"若取 (0 + ka²)/2，得到 ka³/2——大了 50%。
「取平均再乘」只是积分中值定理的一个特例，那个"平均"必须是积分平均，不是首尾平均。
记住这个陷阱，第 4 幕它会换一张脸再来一次。
第 3 幕
⚠️ 支点：切错方向，题就写不下去
回到那池水。上一页做几何题时，切的方向是默认的——沿 x 轴切成竖条，从来不用想。
可这里由不得你。四个开关，把切法一个个试过去：
判据只有一句话：
切的方向，要让「那个正在变的量」在这一小片上近似为常数。
抽水时变的是提升高度，所以按高度水平切；
下一幕算水压力，变的是压强，压强也只跟深度有关——所以还是水平切。
算完一定要验一次
W = ρgA·H²/2 = 1000×9.8×4×4.5 = 176400 J。
换个角度检查：总重量 12000 kg，质心提升 H/2 = 1.5 m → 12000×9.8×1.5 = 176400 J。对上了。
"整体质量集中在质心"是个独立的检验途径——算完顺手对一次，几乎不花时间。
如果把水抽到池口以上再高 2 米的地方，积分要怎么改？
只改提升距离那一项：原来是 (H − h)，现在是 (H − h + 2)。
W = ∫₀ᴴ ρgA(H − h + 2)dh = ρgA(H²/2 + 2H)。
微元法的好处正在这里：物理条件一变，只需改动 dW 里的那一个因子，整套流程不用重来。
这也是为什么值得把 dW 那一行单独写在纸上——它是整道题唯一需要动脑的地方。
第 4 幕
水压力：那个陷阱换了一张脸
竖直闸门，压强 p = ρgh 随深度线性增大。水平切一条，这一条上压强几乎不变：
dP = ρg·h·L(h) dh
L(h) 是这一条的宽度。矩形闸门 L 是常数，三角形闸门 L 随 h 变——差别就出在这儿：
左：矩形闸门 · 右：倒三角闸门（顶边在水面，尖朝下）
中间那排箭头＝压强随深度线性增大
同一个陷阱，第二次出现。
第 2 幕是"平均力 × 位移"，这一幕是"平均压强 × 面积"——
它们在被积函数线性、且「另一个因子」恒定时碰巧成立，其余时候一律出错。
三角形闸门错在哪：它上宽下窄，面积集中在压强小的浅水区，
拿 H/2 处的压强去代表全体，等于把浅水那一大片按深水算了。
正确的"等效"说法
P = ρg × (形心深度) × 面积。
矩形的形心在 H/2，倒三角的形心在 H/3——所以矩形碰巧对，三角形不对。
「平均深度」和「形心深度」是两回事，只有矩形让它们碰巧重合。
把三角形倒过来（尖朝上、底边在水底），压力会变大还是变小？先猜，再想理由。
变大。因为面积挪到了深水区。
此时 L(h) = b·h/H，P = ρgb/H·∫₀ᴴh²dh = ρgbH²/3；
代入数值：1000×9.8×2×9/3 = 58800 N——正好是倒三角那个 29400 的两倍。
形心深度也印证了：这个三角形的形心在 2H/3，是前者 H/3 的两倍。
同样的面积、同样的水深，只因为"肉长在哪一层"，受力差了一倍。——这就是水坝下厚上薄的原因。
第 5 幕
引力：微元第一次带方向
一根长 l 的均匀细棒，质量 M，一个质点在它延长线上，距近端 a。求引力。
照句式来：取一小段 dx，质量 dm = (M/l)dx，距离 r，于是
dF = G·m·(M/l)dx / r²
这里所有小段的引力方向都相同（都沿着棒的方向），所以可以直接相加。但只要质点不在延长线上，事情就变了：
不同小段拉的方向不同 —— 直接把大小加起来，答案必然偏大
⚠️ 这是物理应用比几何应用多出来的一道坎：微元是矢量。
必须先把每个 dF 投影到坐标轴上，再分别积分：
Fx = ∫ dF·cosθ , Fy = ∫ dF·sinθ，最后合成。
直接积 |dF| 得到的是"如果它们都朝一个方向会有多大"，那不是合力。
对称性常常能省掉一半的活
质点在细棒的中垂线上时，左右两半的竖直分量互相抵消，
只剩水平分量要算——看出这一点，工作量立刻减半。
做物理应用题的第一件事，是先看有没有对称性。
第 6 幕
一张表，第六章就装完了
右边两列才是这一章真正要练的东西。
"变的是什么"决定了被积函数，"沿哪个方向切"决定了积分变量。
这两栏一填，剩下的只是查积分表。做不出来的题，卡的从来不是最后那一步。
第 7 幕
回头看一眼那句承诺
第十三页在讲定积分的定义时，留过一句话：
「这四步不是为面积发明的，
是为一切『把小份加起来』发明的。」
当时那句话没有证据。现在有了：
同一套四步，算过面积、体积、弧长、功、压力、引力。
这些量彼此毫无关系——唯一相同的是它们都可以被"切成小份再加起来"。
定积分的本质不是面积，是"把无穷多个无穷小的贡献累积起来"。
面积只是它第一次被用来干的那件事。
第六章到此结束，它其实只教了一句话——
上一页的「在一小段上，把变化的量当成不变的」，加上这一页的「切的方向要让那个量真的不变」。
两句合起来，就是整章。
第 8 幕
整节话，就这三行
乘法一失效，积分就该上场——"力×距离"只在距离处处相同时才成立
难点是切的方向：要让那个正在变的量，在这一小片上近似为常数
物理微元带方向：先投影再积分，别把大小直接相加
还有一条不写进总纲但更该记住的：「取平均再乘」这个诱惑，会在不同的题里反复出现，而它几乎总是错的。
今 天 的 任 务
八道，第 3、5、7 题是这一页的命门
每道题先写两行：①变的是什么 ②沿哪个方向切。写完这两行再动笔，基本不会错。
- 弹簧 k = 300 N/m，从自然长度拉伸 0.2 m，求做功dW = kx dx。答案 6 J
- 圆柱形水池底面积 6 m²、水深 4 m，把水抽到池口，求做功取 ρ=1000, g=9.8。答案 470400 J
- ⚠️ 接上题，用"总质量 × 质心提升高度"再算一遍，核对结果质心提升 2 m。两个数必须一样，不一样就是有一步错了
- 矩形闸门宽 3 m、水深 2 m（顶边与水面平齐），求水压力dP = ρgh·3dh。答案 58800 N
- ⚠️ 倒三角闸门（顶边宽 2 m 在水面、尖朝下、深 3 m）：先用"平均压强 × 面积"算一遍，再用积分算一遍，两个答案都写在纸上44100 与 29400。这道题的价值全在"两个都写下来"
- 接上题，把三角形倒过来（尖朝上），求压力，并说明为什么变大答案 58800 N。理由要落在"形心深度"上
- ⚠️ 一根细棒和一个质点不共线时，为什么不能直接积 |dF|？写出正确的做法答案里必须出现"投影"或"分量"
- 自己编一道用微元法的题（任何量都行），写出 ①变的是什么 ②切的方向 ③微元表达式不用算出答案。能编题，说明你真的拿到了这个句式
第 5 题请老老实实把错的那个也算出来。
这一页的两个陷阱（平均力、平均压强）都长着"看起来很合理"的脸，只有亲手算出 44100 和 29400 并排放着，那 50% 才会真正进到你脑子里。
这也是整套材料里重复过很多次的做法：错解不是废纸，它是对照组。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是切错了方向、微元里漏了一个因子、拿平均值去乘，还是纯算错？