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第 1 幕
按下 sin 键的那一刻，芯片在干什么
CPU 只会四件事：加、减、乘、除。它没有一条叫「正弦」的电路。
可你按下 sin(1)，屏幕上就出来 0.8414709848。这个数是怎么算出来的？
中间那个问号，就是这一页要填的东西
答案：用多项式算的。
多项式只需要加减乘除，机器天生会算。
所以问题变成了——怎么把 sin x 变成一个多项式？
这不是一道数学练习题，是所有科学计算的地基。
你调用的每一个 sin、exp、log，背后都是这一页的东西。
第 2 幕
其实你已经会一次近似了
第七页那条切线，写出来是这样：
f(x) ≈ f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀)
右边是个一次多项式。所以你早就在用多项式替代函数了——只不过只用了一次的。
原点附近它俩几乎重合，走远就分家——第三页见过这张图
一次多项式的天花板很明显：它是直线，而直线不会拐弯。
曲线一开始弯，它就跟不上了。
那么——加一项，让它也会弯，行不行？
第 3 幕
⚠️ 支点：一层一层贴上去
下面这条橙线是 sin x 的泰勒多项式。拖动阶数，看它一节节地追上去。
每加两项，贴合的范围就往外扩一截。项数够多，它能在你关心的整个区间上和 sin x 难分彼此——这就是芯片里发生的事。
多项式为什么能追上 sin x？它俩明明是完全不同的两种函数。
因为"像不像"是局部的事。
只要在 x₀ 这一点上，多项式和 sin x 的各阶导数逐个相同，它们在附近就必然贴得很紧。
阶数越高，被"对齐"的信息越多，贴合的范围就越宽。下一幕就讲这个对齐。
第 4 幕
每一项在干什么：逐阶抄作业
泰勒多项式的构造法，说穿了只有一句：让多项式在 x₀ 处的各阶导数，和原函数一个一个对上。
只抄 0 阶
过同一个点而已
抄到 1 阶
方向也一样了
抄到 2 阶
连怎么弯都一样
- 抄位置两条曲线从同一个点出发
- 抄斜率出发的方向也一致 —— 这就是切线，第七页那条
- 抄弯度凹凸方向和程度都一样 —— 第九页的 f″ 在这儿用上了
- 抄弯度的变化率连"弯法怎么变"都跟着抄
把这些要求写成方程解出来，系数就是那个熟悉的样子：
aₙ = f⁽ⁿ⁾(x₀) / n!
泰勒展开不是什么魔法，是逐阶抄作业：
抄位置、抄斜率、抄弯度、抄弯度的变化率……
抄得越多，像得越久。
第 5 幕
余项：终于轮到那个 o 记号了
近似必须附带误差，否则毫无价值。说不清误差的近似，是耍流氓。
f(x) = Pₙ(x) + Rₙ(x)
两条曲线之间那道缝，就是余项 Rₙ
余项有两种写法，而且两种你都见过：
佩亚诺型：Rₙ = o( (x−x₀)ⁿ )
——第四页那个 o(β) 记号，学了这么久，正主在这儿。
拉格朗日型：Rₙ = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n+1)! · (x−x₀)ⁿ⁺¹
——那个 ξ 又出现了。这就是第八页中值定理的直接推广：
n = 0 时，它一个字不差就是拉格朗日中值定理。
泰勒公式 = 一个多项式，加上一个你说得清大小的误差。
前半截让机器能算，后半截让你敢用。
第 6 幕
两种余项，两种活：别用混
| 余项类型 | 什么时候成立 | 拿来干什么 |
|---|
| 佩亚诺 o(xⁿ) | x → x₀ 时 | 算极限（定性） |
| 拉格朗日 ξ | 整个区间上 | 估误差（定量） |
现在还第四页那笔账。当时那道坑题：
limx→0 (tan x − sin x) / x³
当时的错解 tan x ~ x、sin x ~ x，一减变成 0 —— 得 0，而真值是 1/2。
错因：等价无穷小只留了主部，主部一减就没了，答案藏在被扔掉的那部分里。
泰勒的解法：多留几项，就不怕抵消
tan x = x + x³/3 + o(x³)
sin x = x − x³/6 + o(x³)
相减：x³/3 + x³/6 = x³/2 → 答案 1/2 ✓
看清楚这两页的关系：
等价无穷小是泰勒公式的一阶残缺版。
它够用的时候很省事，一旦主部抵消就立刻失效——
而泰勒公式，就是那类题的正规武器。
算 (tan x − sin x)/x³ 时，展开到几阶才够？展开到 x 一次项行不行？
不行，必须展到 x³。
因为分母是 x³，分子里低于三次的项全会被抵消掉——只留一次项，分子就是 0，你又回到当初那个错解了。
规矩：分母是几阶，分子就至少要展到几阶。
第 7 幕
崩坏测试：它是局部的近似
泰勒公式威力很大，但有两个地方一碰就碎。
第一：离展开点越远，越不准。拿 5 阶的 sin x 多项式去算不同位置：
| x | P₅(x) | 真值 sin x | 误差 |
|---|
| 0.5 | 0.479427 | 0.479426 | 0.000002 |
| 1 | 0.841667 | 0.841471 | 0.000196 |
| 2 | 0.933333 | 0.909297 | 0.024036 |
| 4 | 1.866667 | −0.756802 | 2.623469 |
x=4 处误差比函数值本身还大——近似彻底失效。所以算 sin(10) 时，绝不能拿 0 处的展开硬算。
同一条 5 阶多项式：中间贴得死死的，两头直接飞了
第二：不可导的地方，根本没得展。|x| 在 0 处连一阶导都没有，泰勒公式的第一个系数就写不出来。
⚠️ 想展到 n 阶，就得有 n 阶导数——这是第七页那条老规矩的延伸：可导比连续苛刻，高阶可导更苛刻。
那么要算 sin(10)，正确做法是什么？
两条路，都在用同一个思想：把待求点搬到展开点附近。
① 用周期性把 10 折回 [−π, π]（10 − 2π ≈ 3.717，再折一次），库函数就是这么干的；
② 或者换一个靠近 10 的点去展开。
死记一句：泰勒是局部工具，用之前先把问题挪到它管得着的地方。
第 8 幕
整节话，就这三行
泰勒公式 = 逐阶抄导数得到的多项式 ＋ 一个说得清的误差。
o 型余项算极限，ξ 型余项估误差，别用混。
它是局部的：离展开点越远越不准，不可导就压根没得展。
今 天 的 任 务
八道，第 4 题是跨页高潮
凡是用泰勒的题，先写清楚三件事：在哪个点展开、展到几阶、余项用哪一型。
- 写出 ex 在 0 处的 3 阶泰勒多项式四项，系数分母是阶乘
- 写出 sin x 在 0 处的 5 阶泰勒多项式只有奇次项。想想为什么
- ⚠️ 用泰勒公式求 limx→0 (sin x − x)/x³分母三阶，分子就得展到三阶。答案是负的
- ⚠️ 用泰勒公式重做 limx→0 (tan x − sin x)/x³，然后翻回第四页看看你当时写的错答案这道题你会做两次：一次错、一次对。两次都留着，这是这套材料里最值钱的一份记录
- 用 3 阶泰勒估算 e0.1，并用拉格朗日余项给出误差上界估算值和真值都算出来，看看误差是不是真的落在你给的界里
- ⚠️ f(x) = |x| 在 x = 0 处能展开吗？为什么一句话。理由要落在"几阶可导"上
- ⚠️ 为什么算 sin(10) 不该用 0 处的展开？该怎么办照着第 7 幕的表说事，别空谈
- 佩亚诺型余项和拉格朗日型余项，各用在什么场合？一句话区分这题写不出来，说明第 6 幕的表白看了
第 4 题请把第四页当时那道题的错解找出来，和今天的正解并排贴在一起。
同一道题，隔了六页，从"我以为我会"到"我真的会"——这一对答案，比这一页的任何一句话都值钱。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是展的阶数不够、两种余项用混了、拿局部近似算了远处的点，还是纯算错？