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第 1 幕
0/0 不是一个数，是一个问题
先把"未定式"这三个字说清楚。
0/0 从来不是"算出来等于零除零"。它是在问一件事：两个都奔向 0 的东西，它们的比奔向哪？
三个都是 0/0 型，可它们奔向三个不同的地方
这个问题第四页早就回答过：答案取决于谁跑得快，也就是两者的阶。
分子高阶 → 比值奔 0；分子低阶 → 奔 ∞；同阶 → 奔一个非零常数。
所以"未定式"不是"算不出来"，是——
光看形式定不下来，必须再往里看一层。
洛必达法则，就是往里看的那台机器。
一个 0/0 型的极限，有没有可能等于 100？
完全可以。limx→0 100x / x = 100。
也可以等于 −7、等于 π、等于 0、等于 ∞，或者根本不存在（比如 x·sin(1/x) / x）。
这就是"未定"两个字的全部意思：形式一样，答案什么都有可能。
第 2 幕
它的直觉：比不了函数值，就比出发速度
两条曲线都从同一点出发、都奔向 0。既然函数值都是 0 没法比，那就比它们离开这一点的速度——也就是导数。
lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x)
两条都从原点出发；谁走得陡，谁就占上风
拖动滑块让 x 逼近 0：上下两个比值，一起奔向同一个数。这就是洛必达在说的事。
洛必达不是什么新东西。
它只是把"比函数值"换成了"比变化率"。
第 3 幕
它凭什么成立：第八页那条定理的第三种坐姿
第八页说过：罗尔是水平版，拉格朗日是倾斜版，柯西是参数版——当时留了个"后面再说"。就是现在。
[f(b) − f(a)] / [g(b) − g(a)] = f′(ξ) / g′(ξ)
这就是柯西中值定理：两个函数的"整段变化之比"，等于某一点的"变化率之比"。
洛必达的证明，三行
① 未定式条件给了 f(a) = g(a) = 0；
② 代进柯西中值，左边直接变成 f(b)/g(b)，右边是 f′(ξ)/g′(ξ)；
③ 让 b → a，那个 ξ 被夹在中间，只能跟着 → a。
于是 lim f/g = lim f′/g′。完了。
又是那座桥。
洛必达不是凭空多出来的法则，是中值定理的一个推论。
——顺便注意第 ① 步："未定式"这个前提，是被用在证明里的。它不成立，整个推导塌掉。
第 4 幕
⚠️ 支点：四种翻车，每一种都很常见
洛必达的说明书上写着三条前提。下面四个开关，是它们各自被忽略之后的样子。
把四个开关翻译成规矩，就是那份没人读的说明书：
- 用之前，先确认它真是 0/0 或 ∞/∞
不是未定式却硬用，答案直接错。连着用几次时，每一次都要重新确认——这是最常见的翻车点。
- 是分子分母各自求导，不是商的求导法则
写成 (f/g)′ 的人，这一节就白学了。
- 求导后的极限必须存在（或为 ∞）
如果 lim f′/g′ 不存在，不能反推原极限不存在——只能说洛必达在这题上失效，换个方法。
⚠️ 第 3 条是全章最深的坑。洛必达是单向的：
lim f′/g′ 存在 ⇒ lim f/g 存在且相等。
反过来不成立。第三个开关就是活生生的例子。
第三个开关里，lim (1+cos x)/1 不存在。那么原极限 lim (x+sin x)/x 是不是也不存在？
不是。原极限存在，等于 1。
把它拆开就看见了：(x+sin x)/x = 1 + sin x / x，而 x→∞ 时 sin x / x → 0（有界 × 无穷小，第三页第 ③ 条）。
洛必达失效 ≠ 极限不存在。这一步搞反，是本章最贵的错。
第 5 幕
洛必达和泰勒，什么时候用哪个
上一页刚学的泰勒，也能算这类极限。两把工具摆一起比一比：
| | 洛必达 | 泰勒 |
|---|
| 做法 | 求一次导，看一眼；不行再来一次 | 一次展开，各阶信息全在手 |
| 擅长 | 导数简单、一两次就出结果 | 分母阶数高、要展好几阶 |
| 风险 | 每次都要重验未定式；可能循环；导数越求越丑 | 要记基本展开式 |
拿那道你已经见过两次的题试试：
limx→0 (tan x − sin x) / x³
洛必达路线 分母是 x³，得连用三次。
每一次都要重新确认还是 0/0，而分子的导数一次比一次难看（sec²x − cos x 求两次导之后是什么，你可以试试）。
泰勒路线 tan x = x + x³/3 + o(x³)，sin x = x − x³/6 + o(x³)，
一减 = x³/2 + o(x³) → 1/2。一步到位。
洛必达是"一次剥一层"，泰勒是"一次剥到底"。
分母的阶数越高，泰勒越划算——阶数 ≥ 3，基本就该换泰勒了。
做题时，什么时候该放弃洛必达、改用泰勒？给一条你自己能当场判断的标准。
两条都好使：
① 分母的阶数 ≥ 3（意味着至少要连用三次洛必达）；
② 求了一两次导之后，式子明显变丑、还看不到头。
这时候立刻停手换泰勒——硬撑下去多半会在第三次求导时算错，而那正是最难查的错。
第 6 幕
别的未定式：一律先化成这两种
洛必达只认 0/0 和 ∞/∞。其余五种未定式，都得先翻译成这两种之一：
| 类型 | 怎么化 |
|---|
| 0 · ∞ | 把其中一个搬到分母：f·g = f / (1/g) |
| ∞ − ∞ | 通分，或提公因子 |
| 0⁰ 1∞ ∞⁰ | 取对数，把指数拽下来 → 变成 0 · ∞ |
第三行那个 1∞，你其实已经算过一次了——
lim (1 + 1/x)x = e，正是 1∞ 型。
第五页当时是用"单调有界"硬造出来的；现在你有了第二条路：取对数，然后洛必达。
这一幕只有一句要记：
见到未定式，先问它是哪一型；不是 0/0 或 ∞/∞，就先翻译。
不翻译就上手求导，是这一节的头号事故。
1∞ 为什么算未定式？1 的多少次方不都还是 1 吗？
关键在于底数不是等于 1，只是趋于 1。
一个比 1 大一丁点的数，自乘无穷多次，完全可以跑掉：
(1 + 1/x)x → e · (1 + 2/x)x → e² · 而真正恒等于 1 的 1x 就一直是 1。
"趋于 1"和"等于 1"，差的就是这整整一个 e。
第 7 幕
整节话，就这三行
洛必达 = 比不了函数值，就比变化率，来源是柯西中值定理。
用之前先验未定式，每用一次验一次。
它是单向的：求导后没极限，只说明这条路走不通，不说明原极限不存在。
今 天 的 任 务
八道，第 3 ~ 5 题专治"万能钥匙"错觉
每道题动笔前先写一行：这是哪一型未定式？写不出这一行的，说明你正准备闭着眼睛求导。
- limx→0 sin 3x / x热身。用一次就够
- limx→0 (ex − 1 − x) / x²要用两次。每次都重新确认是不是 0/0
- ⚠️ limx→0 (x+1)/(x+2) 能用洛必达吗？先算它到底是不是未定式。硬用一次看看会得到什么，把错答案也写下来
- ⚠️ limx→∞ (x + sin x) / x 用洛必达试试，说明发生了什么再用别的方法求出真值。两个结论要并排写
- ⚠️ limx→+∞ √(1+x²) / x 用洛必达会怎样？换个方法做提示：分子分母同除以 x
- ⚠️ limx→0 (tan x − sin x)/x³ 分别用洛必达和泰勒各做一遍，比较哪个快⚠️ 这是你第三次做这道题（第四页错过、第十页对过）。三份答案放在一起，就是这套材料给你的最好礼物
- limx→0+ x · ln x0·∞ 型。先翻译，再动手
- limx→∞ (1 + 1/x)x 用取对数 + 洛必达做一遍结果应该和第五页那个 e 对得上。对不上就是哪儿错了
第 4 题是本页的分水岭。洛必达失效，和极限不存在，是两件完全不同的事。
把它们混为一谈的人，考试里会理直气壮地写出"原极限不存在"——而正确答案是 1。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是没验未定式就用、把失效当成不存在、该翻译却没翻译、该用泰勒硬用洛必达，还是纯算错？