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第 1 幕
你其实一直在偷偷扔东西
单摆的真实方程是 θ″ + (g/L)·sin θ = 0。这个方程解不出初等解。
但只要摆角很小，课本就把它写成 θ″ + (g/L)·θ = 0——把 sin θ 直接换成了 θ，然后一切迎刃而解。
原点附近这两条几乎贴在一起，走远了才分家
问题来了：「θ 很小的时候差不多」 —— 这句话凭什么能当数学用？
这一节造的就是这把尺子。
第 2 幕
先把最大的误会掐掉
问一个问题：0.000 000 1 是无穷小吗？
不是它再小也是一个钉死的数，它哪儿也不去。
是要能一路奔向 0 才算。无穷小说的是过程。
上面：一个固定的小数，钉在那儿不动
下面：一串越走越近的值，这才叫无穷小
无穷小不是一个数，是一个函数——一个以 0 为极限的函数。
唯一能当无穷小的常数只有一个：0 本身。
⚠️ 说「这个数是无穷小」永远是错的。要说「这个函数在某某过程中是无穷小」。
0.000 000 1 是无穷小吗？唯一能算无穷小的常数是哪一个？
不是。它再小也是个钉死的数，哪儿也不去。
唯一能当无穷小的常数是 0——因为只有它的极限还是 0。
第 3 幕
而且必须说清楚：在哪个过程里
同一个 1/x，换个趋近方式，身份完全掉个个儿：
左边看 x → 0，右边看 x → +∞——同一条曲线，两种结论
所以「1/x 是无穷小」这句话本身就是错的。
必须写成：当 x → ∞ 时，1/x 是无穷小。
丢掉过程，这句话没有意义——这是本节最容易丢分的地方。
「1/x 是无穷小」这句话错在哪？
错在没说是哪个过程。
x → ∞ 时它是无穷小，x → 0 时它是无穷大。丢掉过程，这句话没有意义。
第 4 幕
还债：为什么 lim = ∞ 不算「极限存在」
上一页第 3 题：1/x² 在 x → 0 时两边都奔 +∞，你很可能判了「极限存在 = +∞」。
那一题的正确答案是：极限不存在。这一幕就来说清楚为什么。
关键在于：无穷大根本不是一个数。它是「要多大有多大」这个行为的名字。
拖动下面的 M：不管你把门槛提到多高，总能找到一段区间，让曲线整段冲过这条线。
门槛 M 随你提，δ 跟着变窄，但永远找得到
极限存在，要求 f(x) 稳定地贴住某一个数。
而「要多大有多大」恰恰是不肯稳定在任何数上。
所以 lim f = ∞ 是借极限的写法，去描述一种特定的「不存在」——它不但不收敛，还是以「跑掉」的方式不收敛。
lim f = ∞ 到底算不算「极限存在」？为什么？
不算。极限存在要求 f 稳定地贴住某一个数，而「要多大有多大」恰恰是不肯停在任何数上。
这个记号是借极限的写法，去描述一种特定的不存在。
第 5 幕
这两个东西，是一枚硬币的两面
在同一个过程里（且 f ≠ 0）：
f 是无穷大
1/f 就是无穷小
f 是无穷大 ⟺ 1/f 是无穷小
这条关系不是用来背的，是用来换赛道的：无穷大不好算（没有加减法则），无穷小好算（有一整套运算性质）。碰上无穷大，先取倒数变成无穷小再动手。
第 6 幕
无穷小的四条脾气
- ① 有限个无穷小相加，还是无穷小两个都在往 0 走，合起来还是往 0 走。
- ② 有限个无穷小相乘，还是无穷小越乘越小，更没问题。
- ③ 有界函数 × 无穷小 = 无穷小最有用的一条。有界的那个再怎么折腾也翻不出天，被无穷小一乘就按住了。
- ④ ⚠️「有限个」三个字，删不得无穷多个无穷小加起来，不一定还是无穷小。
先看 ③ 长什么样。上一页第 7 题 x·sin(1/x) 的正解就是它——sin(1/x) 抖得再凶也跑不出 ±1，被 x 一乘，整条曲线被两道斜栏杆夹死在 0 上：
抖归抖，栏杆在收口，它就只能去 0
再看 ④ 为什么必须设防。下面这座塔，是 n 块砖叠起来的，每块砖高 1/n：
每一块砖都是无穷小（1/n → 0），可这座塔纹丝不动，永远一米高。
因为砖在变薄的同时，块数在变多——两边打了个平手。
这就是「有限个」三个字挡住的东西。
「有限个无穷小之和还是无穷小」——「有限个」三个字能不能删？给一个反例。
不能删。反例就是那座塔：n 个 1/n 相加恒等于 1。
每一项都是无穷小，加起来却纹丝不动——砖在变薄，块数在变多，两边打平。
第 7 幕
回到单摆：现在能正式回答了
把 sin θ 换成 θ，扔掉的是这个东西：
sin θ − θ 的真身：θ 变小时，它塌得比 θ 快得多
θ 缩到十分之一，这个误差缩到千分之一。它不只是「小」，它是消失得更快。
工程上的「忽略高阶项」，忽略的从来不是「小」，是「消失得更快」。
「差不多」这句话翻译成数学，就是：误差是个无穷小。
至于「快多少」能不能量化——那是下一节（无穷小的比较）的事。这一节先把身份认清楚。
第 8 幕
整节话，就这三行
无穷小不是很小的数，是奔向 0 的过程。
无穷大不是数，是「要多大有多大」，所以它意味着极限不存在。
说这两个词，必须带上「在哪个过程里」。
今 天 的 任 务
八道判断，每道只答两问
① 它是无穷小、无穷大，还是两个都不是？ ② 你凭哪一条判的？
仍然不写 ε。能画图的先画图。
- 常数 0.000 000 1，在 x → 0 时送分题。想清楚它到底「去」哪儿了
- 1/x，分别在 x → ∞ 和 x → 0 时同一个函数，两个答案
- sin x，分别在 x → 0 和 x → π 时⚠️ 第二个常被漏掉。无穷小不是只能发生在 0 点
- x · sin(1/x)，在 x → 0 时用第 6 幕的第 ③ 条
- sin(1/x)，在 x → 0 时⚠️ 陷阱。它有界，可它奔向 0 了吗？「两个都不是」也是一种答案
- 1/x − 1/x²，在 x → 0 时⚠️ 两个都是无穷大，那它们的差呢？先通分再看。别猜
- 1/n + 1/n + … + 1/n（共 n 项），n → ∞第 6 幕那座塔。写下每一项的极限，和整体的极限
- e1/x，分别在 x → 0⁺ 和 x → 0⁻ 时⚠️ 就是上一页第 6 题那个函数。同一个点的两侧，一边是无穷大，另一边是无穷小
第 5、6 两题是本节的分水岭。把「不是无穷小也不是无穷大」这个选项想起来的人，才算真懂了定义；只会在两个筐里二选一的人，这两题必栽。
对完答案，在每道错题旁边只写一句：
我是忘了带过程，还是把「小」当成了「无穷小」，还是算错了？
这三种错，吃的药完全不一样。
课 本 习 题 · 1 - 4
同济第八版 P41 的八道原题，逐题给解
这一节的习题几乎全在考「过程」两个字——每道题都在问你：是在哪个过程里？
先在纸上做完，再点开对答案。第 2、3、7 题课本标了 ＊。
⚠️ 第 6、7 题是这一套的重头戏，它们问的是同一件事：
「无界」和「无穷大」是不是一回事？（不是。）
这一页第 2 幕打掉了「无穷小＝很小的数」，这两道题负责打掉「无界＝无穷大」。
第 1 题两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明。
不一定，而且四种结果都可能出现。取 x → 0，三个无穷小 x, x², 3x：
答：不一定。商的下场取决于分子分母「谁跑得更快」——这正好是下一页整节的内容。
⚠️ 这道题是下一页的引子。课本把它放在这儿，就是要你先撞一次墙：
「都是无穷小」这句话信息量太少，不足以决定商的结果。
要想说清楚，就得给「跑得多快」派一个数——那件事下一页做。
＊第 2 题根据定义证明：(1) y = (x²−9)/(x+3) 是 x → 3 时的无穷小；(2) y = x sin(1/x) 是 x → 0 时的无穷小。
「是无穷小」的定义就是「极限为 0」，所以要按 ε-δ 来写。
(1) 先化简：x ≠ −3 时 y = (x−3)(x+3)/(x+3) = x − 3。
任给 ε > 0，取 δ = ε。当 0 < |x − 3| < δ 时（且 x 在 3 附近，自然 ≠ −3）：
|y − 0| = |x − 3| < ε
按定义，limx→3 y = 0，即它是 x → 3 时的无穷小。
(2) 关键是那个有界因子：|sin(1/x)| ≤ 1 恒成立。
任给 ε > 0，取 δ = ε。当 0 < |x| < δ 时：
|y − 0| = |x|·|sin(1/x)| ≤ |x| < ε
故 x sin(1/x) 是 x → 0 时的无穷小。
两问都取 δ = ε 就够。(2) 里那步「≤ |x|」是全题的关键。
⚠️ (2) 正是本页第 6 幕那条性质的实例：有界量 × 无穷小 ＝ 无穷小。
注意 sin(1/x) 在 x → 0 时根本没有极限（它在 ±1 之间横跳），
但这不妨碍乘积趋于 0——因为压住它的是 |x|，不是它自己。
＊第 3 题根据定义证明 y = (1+2x)/x 是 x → 0 时的无穷大。x 满足什么条件时 |y| > 10⁴？
先拆开看清楚：y = 1/x + 2。麻烦的是 1/x，加 2 不影响趋势。
证明：任给 M > 0，取 δ = 1/(M + 2)。当 0 < |x| < δ 时：
|1/x| > M + 2，于是
|y| = |1/x + 2| ≥ |1/x| − 2 > (M+2) − 2 = M
按无穷大的定义，limx→0 y = ∞。
具体到 M = 10⁴：取 0 < |x| < 1/(10⁴ + 2) = 1/10002 ≈ 9.998 × 10−5 即可。
证明取 δ = 1/(M+2)；|y| > 10⁴ 只需 0 < |x| < 1/10002。
⚠️ 注意这里的记号陷阱：写 lim y = ∞ 只是借用极限的写法描述一种趋势，
按定义这个极限并不存在——这正是本页第 4 幕专门还的那笔账。
⚠️ 另外 |1/x + 2| ≥ |1/x| − 2 这一步用的是三角不等式，不能直接写成 |1/x| + 2（方向会反）。
第 4 题求下列极限并说明理由：(1) limx→∞ (2x+1)/x (2) limx→0 (1−x²)/(1−x)
(1) 拆开：(2x+1)/x = 2 + 1/x。
理由：1/x 是 x → ∞ 时的无穷小（这是本页第 3 幕强调的：同一个 1/x，在 x → 0 时是无穷大，在 x → ∞ 时才是无穷小）。
常数 ＋ 无穷小 → 常数，故极限 = 2。
(2) 分母 1 − x → 1 ≠ 0，没有任何未定式，直接代入：
(1−0)/(1−0) = 1。
(1) 2 (2) 1
⚠️ (2) 是一道「看起来像陷阱其实不是」的题。
很多人一看到 1 − x 就想约分，但这里 x → 0 而不是 x → 1，分母根本不趋于 0。
先看过程，再决定要不要动手——这是这一节反复在说的同一句话。
第 5 题根据函数极限或无穷大的定义填表（六种过程 × 四种结果）。
这张表只有两个部件：管 x 的（左半句）和管 f 的（右半句）。把它们排列组合就是全部。
管 x 的（六种过程）：
x → x₀：0 < |x − x₀| < δ · x → x₀⁺：x₀ < x < x₀ + δ · x → x₀⁻：x₀ − δ < x < x₀
x → ∞：|x| > X · x → +∞：x > X · x → −∞：x < −X
管 f 的（四种结果）：
f → A：|f(x) − A| < ε · f → ∞：|f(x)| > M
f → +∞：f(x) > M · f → −∞：f(x) < −M
拼装规则：前面的量词跟着右半句走 ——
f → A 用 ∀ε > 0；f → ∞/±∞ 用 ∀M > 0。
后面存在的那个量跟着左半句走 —— x → x₀ 类用 ∃δ > 0；x → ∞ 类用 ∃X > 0。
举两格看效果：
「x → x₀⁻，f → +∞」＝ ∀M > 0, ∃δ > 0，当 x₀ − δ < x < x₀ 时 f(x) > M
「x → −∞，f → A」＝ ∀ε > 0, ∃X > 0，当 x < −X 时 |f(x) − A| < ε
24 格全部由这两组零件拼出来，一个新东西都没有。
⚠️ 这张表才是这一节真正的成品。它说明「极限」这个词其实是一个模板：
「x 靠近某处」＋「f 落进某个范围」——换过程只换左半句，换结果只换右半句。
把它默写一遍，比做十道计算题有用。
第 6 题y = x cos x 在 (−∞,+∞) 内有界吗？它是不是 x → +∞ 时的无穷大？为什么？
两问，答案是「无界，但不是无穷大」。各用一串点来说明。
① 无界：取 x = 2kπ（k = 1, 2, 3, …），此时 cos x = 1，
y = 2kπ → +∞。函数值要多大有多大，所以无界。
② 但不是无穷大：取 x = (2k+1)π/2，此时 cos x = 0，
y = 0。在任意远处都还有一串点让函数值等于 0。
而「x → +∞ 时是无穷大」要求：从某处往后，所有的 x 都让 |y| > M。这里做不到。
答：无界，但不是 x → +∞ 时的无穷大。
⚠️ 「无界」和「无穷大」差在哪，这道题给出了最短的回答：
无界＝「有一些点跑得很高」（只要找得到就行）；
无穷大＝「从某处起所有点都很高」（一个例外都不许有）。
无穷大 ⟹ 无界，反过来不成立。这道题的 x cos x 就是那个反例。
＊第 7 题证明 y = (1/x)·sin(1/x) 在 (0,1] 内无界，但它不是 x → 0⁺ 时的无穷大。
和上一题完全同构，只是换了个战场（从 +∞ 换到 0⁺）。照样造两串点。
① 无界：取 xk = 1/(2kπ + π/2)。它们都落在 (0,1] 内，且 k 越大越靠近 0。
此时 1/xk = 2kπ + π/2，sin(1/xk) = 1，于是
y = 2kπ + π/2 → +∞。所以在 (0,1] 上无界。
② 不是无穷大：取 xk′ = 1/(kπ)，同样落在 (0,1] 内且趋于 0。
此时 sin(1/xk′) = sin(kπ) = 0，于是 y = 0。
无论你把「从某处起」的门槛设得多靠近 0，这一串取零的点总还在里面，所以不满足无穷大的定义。
两串点：一串让 y → ∞（证无界），一串让 y = 0（否定无穷大）。
⚠️ 这一招值得单独记：要否定一个「对所有…都成立」的命题，只需造出一串反例点。
第 6、7 两题用的是同一招，只是一个在 +∞ 处造点，一个在 0⁺ 处造点。
而这一招的完整版（子数列判别法），后面第十七页会正式给出。
第 8 题求 f(x) = 4/(2 − x²) 的图形的渐近线。
渐近线要分两头找：竖着的看「分母何时归零」，横着的看「x 跑远时去哪儿」。
① 铅直渐近线：令分母 2 − x² = 0 ⟹ x = ±√2。
在这两点处分子恒为 4 ≠ 0，所以 f → ∞：
x → √2⁻ 时 → +∞；x → √2⁺ 时 → −∞（分母变号）。
故 x = √2 与 x = −√2 都是铅直渐近线。
② 水平渐近线：x → ∞ 时分母 → −∞，故 f → 0。
故 y = 0（即 x 轴）是水平渐近线，两个方向都是。
铅直：x = ±√2；水平：y = 0。
⚠️ 「分母为零」只是候选，不是结论。还得确认分子在那点不为零——
若分子分母同时为零，那儿可能是可去间断点，压根没有铅直渐近线。
⚠️ 顺带说：渐近线不是「碰不到的线」，定义只说距离趋于 0，从没说不许相交。这件事后面第九页会专门讲。
八道做完，把第 6、7 题的结论抄在纸上：
无穷大 ⟹ 无界；无界 ⇏ 无穷大。
这一页开头打掉了「无穷小＝很小的数」，结尾这两道打掉「无界＝无穷大」——
两个误解的病根是同一个：把「某些时候」当成了「所有时候」。