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第 1 幕
你其实一直在偷偷扔东西
单摆的真实方程是 θ″ + (g/L)·sin θ = 0。这个方程解不出初等解。
但只要摆角很小，课本就把它写成 θ″ + (g/L)·θ = 0——把 sin θ 直接换成了 θ，然后一切迎刃而解。
原点附近这两条几乎贴在一起，走远了才分家
问题来了："θ 很小的时候差不多" —— 这句话凭什么能当数学用？
这一节造的就是这把尺子。
第 2 幕
先把最大的误会掐掉
问一个问题：0.000 000 1 是无穷小吗？
不是它再小也是一个钉死的数，它哪儿也不去。
是要能一路奔向 0 才算。无穷小说的是过程。
上面：一个固定的小数，钉在那儿不动
下面：一串越走越近的值，这才叫无穷小
无穷小不是一个数，是一个函数——一个以 0 为极限的函数。
唯一能当无穷小的常数只有一个：0 本身。
⚠️ 说"这个数是无穷小"永远是错的。要说"这个函数在某某过程中是无穷小"。
0.000 000 1 是无穷小吗？唯一能算无穷小的常数是哪一个？
不是。它再小也是个钉死的数，哪儿也不去。
唯一能当无穷小的常数是 0——因为只有它的极限还是 0。
第 3 幕
而且必须说清楚：在哪个过程里
同一个 1/x，换个趋近方式，身份完全掉个个儿：
左边看 x → 0，右边看 x → +∞——同一条曲线，两种结论
所以"1/x 是无穷小"这句话本身就是错的。
必须写成：当 x → ∞ 时，1/x 是无穷小。
丢掉过程，这句话没有意义——这是本节最容易丢分的地方。
「1/x 是无穷小」这句话错在哪？
错在没说是哪个过程。
x → ∞ 时它是无穷小，x → 0 时它是无穷大。丢掉过程，这句话没有意义。
第 4 幕
还债：为什么 lim = ∞ 不算"极限存在"
上一页第 3 题：1/x² 在 x → 0 时两边都奔 +∞，你很可能判了"极限存在 = +∞"。
那一题的正确答案是：极限不存在。这一幕就来说清楚为什么。
关键在于：无穷大根本不是一个数。它是"要多大有多大"这个行为的名字。
拖动下面的 M：不管你把门槛提到多高，总能找到一段区间，让曲线整段冲过这条线。
门槛 M 随你提，δ 跟着变窄，但永远找得到
极限存在，要求 f(x) 稳定地贴住某一个数。
而"要多大有多大"恰恰是不肯稳定在任何数上。
所以 lim f = ∞ 是借极限的写法，去描述一种特定的"不存在"——它不但不收敛，还是以"跑掉"的方式不收敛。
lim f = ∞ 到底算不算「极限存在」？为什么？
不算。极限存在要求 f 稳定地贴住某一个数，而「要多大有多大」恰恰是不肯停在任何数上。
这个记号是借极限的写法，去描述一种特定的不存在。
第 5 幕
这两个东西，是一枚硬币的两面
在同一个过程里（且 f ≠ 0）：
f 是无穷大
1/f 就是无穷小
f 是无穷大 ⟺ 1/f 是无穷小
这条关系不是用来背的，是用来换赛道的：无穷大不好算（没有加减法则），无穷小好算（有一整套运算性质）。碰上无穷大，先取倒数变成无穷小再动手。
第 6 幕
无穷小的四条脾气
- ① 有限个无穷小相加，还是无穷小两个都在往 0 走，合起来还是往 0 走。
- ② 有限个无穷小相乘，还是无穷小越乘越小，更没问题。
- ③ 有界函数 × 无穷小 = 无穷小最有用的一条。有界的那个再怎么折腾也翻不出天，被无穷小一乘就按住了。
- ④ ⚠️「有限个」三个字，删不得无穷多个无穷小加起来，不一定还是无穷小。
先看 ③ 长什么样。上一页第 7 题 x·sin(1/x) 的正解就是它——sin(1/x) 抖得再凶也跑不出 ±1，被 x 一乘，整条曲线被两道斜栏杆夹死在 0 上：
抖归抖，栏杆在收口，它就只能去 0
再看 ④ 为什么必须设防。下面这座塔，是 n 块砖叠起来的，每块砖高 1/n：
每一块砖都是无穷小（1/n → 0），可这座塔纹丝不动，永远一米高。
因为砖在变薄的同时，块数在变多——两边打了个平手。
这就是"有限个"三个字挡住的东西。
「有限个无穷小之和还是无穷小」——「有限个」三个字能不能删？给一个反例。
不能删。反例就是那座塔：n 个 1/n 相加恒等于 1。
每一项都是无穷小，加起来却纹丝不动——砖在变薄，块数在变多，两边打平。
第 7 幕
回到单摆：现在能正式回答了
把 sin θ 换成 θ，扔掉的是这个东西：
sin θ − θ 的真身：θ 变小时，它塌得比 θ 快得多
θ 缩到十分之一，这个误差缩到千分之一。它不只是"小"，它是消失得更快。
工程上的"忽略高阶项"，忽略的从来不是"小"，是"消失得更快"。
"差不多"这句话翻译成数学，就是：误差是个无穷小。
至于"快多少"能不能量化——那是下一节（无穷小的比较）的事。这一节先把身份认清楚。
第 8 幕
整节话，就这三行
无穷小不是很小的数，是奔向 0 的过程。
无穷大不是数，是"要多大有多大"，所以它意味着极限不存在。
说这两个词，必须带上"在哪个过程里"。
今 天 的 任 务
八道判断，每道只答两问
① 它是无穷小、无穷大，还是两个都不是？ ② 你凭哪一条判的？
仍然不写 ε。能画图的先画图。
- 常数 0.000 000 1，在 x → 0 时送分题。想清楚它到底"去"哪儿了
- 1/x，分别在 x → ∞ 和 x → 0 时同一个函数，两个答案
- sin x，分别在 x → 0 和 x → π 时⚠️ 第二个常被漏掉。无穷小不是只能发生在 0 点
- x · sin(1/x)，在 x → 0 时用第 6 幕的第 ③ 条
- sin(1/x)，在 x → 0 时⚠️ 陷阱。它有界，可它奔向 0 了吗？"两个都不是"也是一种答案
- 1/x − 1/x²，在 x → 0 时⚠️ 两个都是无穷大，那它们的差呢？先通分再看。别猜
- 1/n + 1/n + … + 1/n（共 n 项），n → ∞第 6 幕那座塔。写下每一项的极限，和整体的极限
- e1/x，分别在 x → 0⁺ 和 x → 0⁻ 时⚠️ 就是上一页第 6 题那个函数。同一个点的两侧，一边是无穷大，另一边是无穷小
第 5、6 两题是本节的分水岭。把"不是无穷小也不是无穷大"这个选项想起来的人，才算真懂了定义；只会在两个筐里二选一的人，这两题必栽。
对完答案，在每道错题旁边只写一句：
我是忘了带过程，还是把"小"当成了"无穷小"，还是算错了？
这三种错，吃的药完全不一样。