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第 1 幕
课本悄悄换了赛道
上一页那几节（7.1–7.3）从来没提过"线性"。y′ = y²、y′ = 2√y 都不是线性的，照样解。
可从 7.4 起，每个标题里都写着"线性"。为什么突然要加这个限制？
先看一个只差一个字母的对比
y′ = y² —— 可分离，几行就解出来（上一页做过）。
y′ = y² + x —— 解不出来。它叫里卡蒂方程，没有初等函数形式的通解。
加了一个 x，这个方程就从"课本例题"变成了"数学史上的难题"。
非线性方程没有通解理论。
能解出来的那些，都是碰巧撞上了某个技巧——一个方程一个样，换个形式就重来。
而线性方程有结构。结构意味着：不必逐个碰运气，可以一次性说清一整类方程的解长什么样。
这就是课本换赛道的原因。
第 2 幕
先说清楚什么叫「线性」
线性指的是：未知函数 y 和它的各阶导数，都只以一次方出现，而且不互相相乘。
⚠️ 最常见的误解：以为系数复杂就不线性了。
P(x)、Q(x) 可以是任何函数，再难看也不影响线性。
「线性」说的只是方程对 y 的依赖方式，跟 x 那一侧长什么样毫无关系。
最后那一行 y″ + sin y = 0，是第三页那张欠条的正主。
第三页问过：单摆凭什么把 sin θ 换成 θ？
答案的后半截在这一页第 7 幕。
第 3 幕
⚠️ 支点：线性到底好在哪
好处只有一条，但它撑起了整章：解可以叠加。
四个开关，把这条好处和它的边界一次看清：
叠加原理是线性方程唯一的、也是全部的特权。
有了它，只要找到足够多的基本解，剩下的解全是它们的组合——
于是"求出所有解"这件事，第一次变得可能。
第 ② 个开关里，y = −1/x 是 y′ = y² 的解，可 y = −2/x 为什么不是？代进去算一遍。
代 y = −2/x：左边 y′ = 2/x²，右边 y² = 4/x²。
2/x² ≠ 4/x²，不成立。
病根在那个平方：把 y 放大 2 倍，左边（求导）也放大 2 倍，可右边放大了 4 倍——两边放大的倍数对不上。
线性方程之所以能叠加，正是因为两边放大的倍数永远一致。
第 4 幕
这件事你在线性代数里见过
把方程左边整体记作一个"运算" L[y] = y″ + p y′ + q y。线性的意思就是：
L[C₁y₁ + C₂y₂] = C₁L[y₁] + C₂L[y₂]
这正是线性代数里矩阵的性质：A(c₁x₁ + c₂x₂) = c₁Ax₁ + c₂Ax₂。于是两边的结论一一对应：
上一页那个问题，到这里才算真答完。
上一页说：二阶方程的通解带两个常数，因为要积两次。
现在有了更硬的说法：二阶线性齐次方程的解空间是二维的，
C₁y₁ + C₂y₂ 不是"凑出来的"，而是用一组基把整个空间写出来。
n 阶就要 n 个常数，因为解空间恰好 n 维——一个不多，一个不少。
y″ + y = 0 的两个解 cos x 与 sin x，为什么能"张成全部"？换成 cos x 和 2cos x 行不行？
不行——它们线性相关。
C₁cos x + C₂·2cos x = (C₁+2C₂)cos x，说到底还是只有一个方向，凑不出 sin x。
要张成二维空间，两个解必须线性无关（课本用朗斯基行列式判定）。
又是线性代数那一套：两个基向量不能共线。叫法不同，事情完全一样。
第 5 幕
7.4 一阶线性：让常数动起来
标准形式 y′ + P(x)y = Q(x)。课本的解法叫「常数变易法」，名字听着玄，其实老实得很。点按钮看：
「常数变易」这个名字是老实的——它真的就是把第 ① 步那个常数 C，换成一个待定函数 C(x)。
它凭什么管用？因为齐次解已经把方程"吃掉"了一半：代回去之后，
带 C(x) 本身的项全部抵消，只剩下 C′(x) 那一项——于是问题塌成一个直接积分。
另一条路：积分因子
两边同乘 μ = e∫P dx，左边就恰好凑成 (μy)′：
(μy)′ = μQ ⟹ 两边积分即可。
这就是第十五页的凑微分——把一堆东西认出成某个函数的导数。两条路殊途同归。
第 6 幕
7.5 可降阶：先问能不能退回已知情形
遇到高阶方程，别急着找新方法。先看它缺了什么：
三种情形，一个动作：把阶数降下来，退回见过的情形。
这和上一页那条主线是同一件事——
上一页：不能分离的，变成能分离的；这一页：解不了的高阶，变成解得了的低阶。
整个第七章的策略只有两个字：化归。把没见过的变成见过的。
缺 x 的那一类（y″ = f(y, y′)），为什么要把 y 当自变量？直接令 p = y′ 不行吗？
直接令 p = y′ 会得到 p′ = f(y, p)——里面同时有 x（藏在 p′ 里）、y、p 三个东西，没降成一阶。
改成把 y 当自变量：y″ = dp/dx = (dp/dy)·(dy/dx) = p·dp/dy，
于是方程变成 p·dp/dy = f(y, p)——只剩 y 和 p，真的是一阶了。
⚠️ 中间那一步用的是链式法则（第十六页），而把 dp/dx 拆成两个的写法，靠的还是第十四页那张 dx 身份证。
「换自变量」这个动作本身，也是化归。
「化归」这两个字你其实一路都在用：
第十五页换元积分（把陌生的被积函数变成表上有的）、第十九页参数方程求导（把 dy/dx 变成两个对 t 的导数）、第二十五页齐次方程换元。
数学里真正的"新方法"很少，绝大多数进展都是把新问题搬回老问题。
第 7 幕
那现实世界呢？大多是非线性的
线性方程这么好用，可自然界并不打算配合。
单摆的真方程是 θ″ + (g/L)·sin θ = 0——非线性，解不出初等表达式。
课本的处理是把 sin θ 换成 θ。凭什么？看这张图：
小角度时两条线几乎重合 —— 换掉它，误差小到可以不管
第三页那张欠条，到这里全额还清。
第三页问：单摆凭什么把 sin θ 换成 θ？当时答了一半——因为差的那部分是高阶无穷小。
现在是另一半，而且是更要紧的一半：因为不换就解不出来。
换掉 sin，方程从非线性变成线性，整套结构理论立刻可用——这才是这一步的真实动机。
「线性化」不是为了精确，是为了可解。
⚠️ 所以要记住这个近似的有效范围。
摆角超过 30° 之后误差迅速变大；真实单摆的周期会随振幅变长，而线性化后的模型说周期与振幅无关。
模型说"无关"，只是因为你亲手把那部分删掉了。
工程上的通用做法：在工作点附近线性化
第十四页说过：微分就是用切线代替曲线，也就是线性化。
控制系统、电路小信号分析、结构振动——都是先在工作点把非线性方程线性化，再套这一章的办法。
线性不是世界的样子，是我们能算的那一小块。而这一小块，已经撑起了整个工程学。
第 8 幕
整节话，就这四行
线性 = y 与各阶导数只有一次、不相乘；系数多难看都不影响
线性的全部特权是叠加：有了它才谈得上"求出所有解"
结构定理 = 线性代数的 Ax=b：通解 = 齐次通解 + 一个特解
解不了就化归：降阶、换元、线性化——把没见过的变成见过的
下一页把这套结构用在最重要的一类上：常系数方程——也就是弹簧、电路和汽车悬架。
今 天 的 任 务
八道，第 2、4、7 题是这一页的命门
凡是判断线性的题，只盯 y 那一侧，别看 x 那一侧。这一节最常见的错就是被复杂系数吓住。
- 判断线性与否：y′ + x²y = sin x · yy′ = 1 · y″ + exy = 0 · y′ = y² + x四个里两个线性。理由各写一句
- ⚠️ 验证 y₁ = cos x 与 y₂ = sin x 都是 y″ + y = 0 的解，再验证 3y₁ − 2y₂ 也是三次代回。做完就理解了什么叫叠加
- ⚠️ 验证 y = −1/x 是 y′ = y² 的解，再验证 −2/x 不是第 3 幕第 ② 个开关。两个都要算
- ⚠️ y = 1 + cos x 与 y = 1 + sin x 都是 y″ + y = 1 的解。它们的和是解吗？它们的差呢？各代回验一次和不是，差是齐次方程的解。这题就是结构定理的实验版
- 用常数变易法解 y′ + y = ex齐次解 Ce^(−x)。答案 y = ½e^x + Ce^(−x)
- 用积分因子再解一遍上题，核对结果μ = e^x。两条路必须给出同一个答案
- ⚠️ 单摆真方程 θ″ + (g/L)sin θ = 0：说明为什么它是非线性的，以及线性化之后得到什么答案里要出现"sin 里塞了 θ"和"为了可解"
- 解 y″ = 2x（可降阶最简形式），并求满足 y(0)=1, y′(0)=0 的解直接积两次。答案 y = x³/3 + 1
第 4 题请把"和"与"差"都真的代回去算一遍，不要只写结论。
亲手算出「和不行、差可以」这个不对称，你就再也不会记错结构定理的形状——
它之所以长成"特解 + 齐次通解"，原因全在这道题里。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是被复杂系数骗了、把非齐次当齐次叠加、常数变易时漏了 C′ 项，还是纯算错？