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第 1 幕
一个圆，为什么非得拆成两半
求圆 x² + y² = 25 在点 (3, 4) 处的切线斜率。
中学教你先解出 y：y = √(25 − x²)，求导得 −x/√(25−x²)，代 x=3 得 −3/4。
可下半个圆怎么办？那得另写一个函数 y = −√(25−x²)，再求一次导。
同一个圆，被迫劈成两个函数：上半支和下半支
圆好端端的，是"函数"这个概念把它撕开的——
函数要求一个 x 只能对一个 y，而圆上一个 x 对着两个 y。
撕开它的不是几何，是我们的写法。
这个要求你在第一页就见过：函数是一台机器，投一个 x 只能吐一个 y。
当时它保证了"极限"这个概念说得通。现在它开始碍事了——
真实世界的曲线（轮胎轮廓、凸轮外形、行星轨道）没有一条愿意配合这条规矩。
这一节要教的，是另一条路：
不解出 y，直接求导。
第 2 幕
隐函数求导：只需承认 y 是 x 的函数
不去解方程，直接对方程两边求导。点按钮走一遍：
全部秘密只有第 ③ 步：y 是 x 的函数，所以 d/dx(y²) 要用链式法则，
外层 2y，再乘内层的导数 y′。
没有新法则。整个"隐函数求导法"就是链式法则被认真用了一次。
一个公式，管住整个圆
y′ = −x/y：在 (3, 4) 得 −3/4，在 (3, −4) 得 +3/4。
上半支下半支，不必再分两次算。
第 ③ 步如果忘了乘那个 y′，会得到什么？这个答案错在哪里最明显？
会得到 2x + 2y = 0，也就是 y = −x——这根本不是一个斜率，是一条直线。
最明显的破绽：它把"求导"变成了"又一个方程"，式子里连 y′ 都没有，你要求的东西消失了。
凡是求导后式子里不出现 y′ 的，一定是漏了链式法则那一步。
第 3 幕
⚠️ 支点：答案里带着 y，是特性不是毛病
很多人第一次看到 y′ = −x/y 会不舒服：求导的答案里怎么还有 y？
这个疑问值得认真对待，因为把它想清楚，这一节就通了。四个开关：
一个 x 对着两个 y，斜率当然要靠 y 来区分。
y′ = −x/y 里的那个 y，正是在回答「你问的是哪一支」。
如果答案里真的不含 y，那才出了大事——那意味着上下两支斜率相同，画出来不是圆。
⚠️ 分母为零的地方，公式一律交白卷。
隐函数是 y = 0（圆的最左最右两点，切线竖直）；
参数方程是 φ′(t) = 0（摆线的尖点）。
两者是同一件事：dx 那一侧塌了，dy/dx 就没有意义。
圆在 (5, 0) 处明明有一条切线（竖直那条），为什么公式却算不出来？
因为竖直线没有斜率——不是切线不存在，是"斜率"这个数不存在。
y′ = −x/y 在这里得到 −5/0，正是在如实报告这件事。
换个角度就有救：把 x 看作 y 的函数，对 x² + y² = 25 求 dx/dy = −y/x，在 (5,0) 处等于 0——
意思是"x 相对 y 不变"，那正是一条竖直线。同一条切线，换个问法就答得出来了。
第 4 幕
参数方程：让曲线自己动起来
还有一类曲线，连"隐式方程"都不好写，但描述起来极其自然：说清楚每个时刻它在哪儿。
摆线——自行车轮胎上一颗石子划出的轨迹：
x = t − sin t , y = 1 − cos t
拖动看它在每一点的切线方向：
斜率怎么算？x 和 y 都听 t 的，那就分别问 t：
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
这个式子看着像约分，而它真的就是约分。
第十四页给 dx 发过身份证之后，dy、dx、dt 都是实实在在的量；
第十六页那三个齿轮说的也是这件事：dy/dx = (dy/dt)·(dt/dx)，中间的 dt 一消就完。
两页的铺垫，在这里同时兑现。
为什么工程上离不开参数方程
炮弹轨迹、行星轨道、机器人手臂末端的位置——它们天生就是"时间的函数"。
硬要消去 t 写成 y = f(x)，往往写不出来，写出来也难看，而且会丢掉"什么时候到那儿"这个信息。
第 5 幕
对数求导法：两边都在变的时候
求 y = xx 的导数。你手上两条法则，一条都用不上：
底和指数一起变，两条法则都不认它。办法是先取对数：
- ln y = x ln x两边取对数。ln 把幂变成乘
- (1/y)·y′ = ln x + 1左边对 x 求导——这里用的就是第 2 幕那一步：y 是 x 的函数
- y′ = y·(ln x + 1) = xx(ln x + 1)解出来，再把 y 换回去
取对数不是技巧，是翻译：
ln 把幂翻译成乘，把乘翻译成加——而加和乘正是求导法则最擅长的结构。
遇到一长串连乘、连除、开方的式子，同样先取对数，能把半页纸的商法则化成几个加号。
⚠️ 严格地说要写 ln|y|，因为 y 可能是负的。
结果一样（(ln|y|)′ = y′/y 对正负都成立），但写 ln y 等于默认了 y > 0。
这和第十二页那个 ln|x| 的绝对值是同一个坑。
第 ② 步凭什么是 (1/y)·y′，而不是 1/y？
因为求的是对 x 的导数，而 ln y 里的 y 又是 x 的函数——这是复合函数。
外层 ln 求导给 1/y，还要乘内层 y 对 x 的导数，也就是 y′。
又是链式法则，和第 2 幕第 ③ 步一模一样。写成 1/y 就是漏了内层，和忘乘 y′ 是同一个错。
第 6 幕
相关变化率：一架滑倒的梯子
一架 5 米的梯子靠着墙，底端匀速向外滑，每秒 1 米。顶端下滑有多快？
x² + y² = 25 —— 和第 1 幕那个圆，是同一个方程
梯子长度不变，于是 x² + y² = 25 永远成立。两边对时间 t 求导：
2x·(dx/dt) + 2y·(dy/dt) = 0 ⟹ dy/dt = −(x/y)·(dx/dt)
注意这个式子和第 2 幕长得一模一样
第 2 幕：y′ = −x/y · 这里：dy/dt = −(x/y)·(dx/dt)
因为做的是同一件事——对一个隐式关系求导，只不过这次是对 t 求。
「相关变化率」不是新方法，是隐函数求导换了个自变量。
底端匀速，顶端却越掉越快，而且没有上限。
当 y → 0，速度奔向无穷——正是第 3 幕那个 y=0 的坑，这次以物理形式出现。
现实里当然不会真的无穷：梯子早就脱离墙面飞出去了。
公式失效的那一点，往往正是物理模型也失效的那一点。
梯子底端一直是每秒 1 米，顶端的速度凭什么会变？能量哪来的？
因为约束把两个速度绑在了一起，而绑法随位置改变。
梯子越接近水平，底端挪动一点点，顶端就要掉下很多——几何放大倍数是 x/y，这个比值本身在涨。
能量不是凭空来的：要维持底端匀速，需要外力做功；真实情况下没人在拉它，所以底端会自己加速、梯子会脱墙。
这道题真正的教训是：约束方程一求导，就把"看似无关的两个速度"绑成了一个式子。
第 7 幕
三种写法，一条法则
整张表右边只有一个词：链式法则。
这一节看着有三四种"方法"，其实是同一条法则的三四种用法。
这是第三次听到同样的结构了。
第十五页：求导有几条法则，积分就有几种方法，一一对应。
第十六页：四条求导法则，真正独立的只有三条。
这一页：三种写法，一条链式法则。
课本的目录是按"题型"排的，知识的骨架不是。会背题型的人到处是坑，看得见骨架的人只需要记很少的东西。
埋一笔账，留给 3.7 曲率
弯道设计要算的是曲率——一条曲线在某点"有多弯"。
它的公式对参数方程写出来最自然，整个建立在这一页的 dy/dt、dx/dt 上；
而高速公路的缓和曲线（回旋线）压根没有 y=f(x) 形式，只能用参数方程写。
这一页是那一节的入场券。
第 8 幕
整节话，就这三行
不必解出 y：承认 y 是 x 的函数，对方程两边直接求导
答案里带 y 是应该的：一个 x 对两个 y，得靠 y 说清是哪一支
分母为零处一律交白卷：y=0 或 φ′(t)=0，那里的切线是竖直的
加一句给整个第二章：
第二章到这里讲完了。回头看，它只做了一件事：把"瞬时变化率"这个想法，铺到所有能想到的写法上去。
定义（2.1）→ 法则（2.2）→ 高阶（2.3）→ 隐式与参数（2.4）→ 微分记号（2.5）。
工具箱到此配齐，下一章开始拿它干活。
今 天 的 任 务
八道，第 2、5、7 题是这一页的命门
凡是隐函数题，每一步旁边标一句"这里对谁求导"。这一节所有的错，源头都是这句话没写清。
- 对 x² + y² = 25 求 y′，并算出 (3,4) 与 (3,−4) 两点的斜率热身。两个答案应当互为相反数
- ⚠️ 求 x³ + y³ = 3xy（笛卡尔叶形线）在 (3/2, 3/2) 处的切线斜率右边要用乘积法则，别忘了 y 也是 x 的函数。答案是 −1
- 试着把上题的 y 解出来只要求你试三分钟，然后写一句"为什么隐函数求导是必须的"
- 求椭圆 x²/9 + y²/4 = 1 在 (0, 2) 处的切线先想想这一点在图上是哪儿，斜率应该是几
- ⚠️ 摆线 x = t − sin t, y = 1 − cos t：求 t = π/2 处的 dy/dx，再说明 t → 0 时发生了什么第一问答案是 1。第二问要说出"尖点"和"分母为零"
- 用对数求导法求 y = xsin x 的导数照第 5 幕三步走。最后别忘了把 y 换回去
- ⚠️ 一个气球以每秒 100 cm³ 充气，求半径 10 cm 时半径的增长速度先写出把两个量绑在一起的那个方程（V = 4πr³/3），再两边对 t 求导。答案 1/(4π) cm/s ≈ 0.0796
- ⚠️ 用自己的话说清楚：为什么 y′ = −x/y 的答案里必须含 y答案里要出现"一个 x 对两个 y"和"它在回答你问的是哪一支"
第 3 题请真的试一下。
笛卡尔叶形线解 y 要用到三次方程求根公式，三分钟后你会由衷地接受隐函数求导。
「知道有更好的办法」和「亲手撞过墙」，学习效果差着一个数量级。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是忘了 y 是 x 的函数、没写那个 y′、对错了自变量，还是纯算错？