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第 1 幕
物理定律从来不直接告诉你答案
自由落体的位移公式 s = ½gt² ，你背了很多年。可它是从哪儿来的？
牛顿没有直接写出这个式子。他写的是加速度 ：a = g ，也就是 s″ = g 。公式是从这个方程解出来的。
从「加速度是常数」往回积两次 —— 每积一次，冒出一个待定常数
这些方程有一个共同点：未知的不是一个数，是一个函数 ；全是关于它变化率的 。物理定律几乎从不直接说"东西是什么样"，只说"它怎么变"。
第 2 幕
最简单的一个，也是最常见的一个
y′ = ky ：变化率正比于当前的量。
放射性衰变、细菌繁殖、复利、药物代谢、冷却——它们写出来是同一个方程 ，只是 k 的正负和大小不同。
y′ = ky ⟹ y = C ekx
怎么知道这个解对不对？代回去。 y = Cekx ⟹ y′ = kCekx = ky ✓成立。这个解就是对的，不需要再问任何人。
这是第十二页那条规矩的第二次出场。 积分是全书唯一天生自带验算机制的一章 ——求导回去就知道对不对。微分方程也一样，而且更直接：把解代回方程。 这一章你永远不必问"我做对了吗" ——代回去，五秒钟就有答案。
⚠️ 但"代回去成立"只说明它是 一个解，没说明它是全部 的解。
第 3 幕
方程给规律，初值给这一次
方程本身规定的不是一条曲线，而是每一点上的方向 ：走到 (x, y) 这里，斜率就该是 y′ 的那个值。
把这些方向画成一片小箭头，解就是"处处顺着箭头走"的那条曲线 。拖动看：
方向场是整个方程；每一条曲线只是它的一个解。 可它们全都服从同一片箭头。 方程给的是"规律"，初始条件给的是"这一次的具体情况"。
那个 C，你在第十二页见过。 +C 不是装饰，是"只知道速度，不知道车从哪儿出发" 。C 就是"不知道初始状态" 。给一个初值，C 就定了。而阶数决定要给几个初值 ：一阶给一个（第 1 幕自由落体是二阶，所以要给初速度和初位置两个）。
为什么二阶 方程的通解里有两个 任意常数？用第 1 幕那个自由落体说。
因为要积两次 ，每积一次冒出一个常数。s″ = g → s′ = gt + C₁ → s = ½gt² + C₁t + C₂ 。物理意义清清楚楚 ：C₁ 是初速度，C₂ 是初位置。只知道"重力加速度是 g"，当然定不出球在哪儿、往哪儿扔——那是初始条件的活。
第 4 幕
可分离变量：把 x 和 y 各赶到一边
如果方程能写成 dy/dx = f(x)·g(y) ，那就好办：
dy / g(y) = f(x) dx把带 y 的搬到左边，带 x 的搬到右边
∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx两边各积各的，变回两个普通积分
解出 y（能解就解，解不出就留成隐式）剩下的是第四章的活
第一步凭什么可以那样搬？ 第十四页 给 dx 和 dy 发过身份证——它们是实实在在的量，不是不可拆的记号 。dy/dx 只是"导数"的一种写法，把它拆开搬来搬去是非法的符号游戏。第十五页凑微分、第十九页参数方程、这一页分离变量——同一张身份证，用了三次。
走一遍：牛顿冷却定律 dT/dt = −k(T − T₀) ⟹ dT/(T−T₀) = −k dt ln|T−T₀| = −kt + C ⟹ T = T₀ + Ce−kt 一杯热水放在房间里，温度指数地趋向室温 ——这条曲线就是这么解出来的。
第 5 幕
⚠️ 支点：分离的那一步，你除掉了什么
第 4 幕第一步做了一件事，很容易被忽略：它除以了 g(y)。
而除法有个前提：除数不能为零。 那些让 g(y) = 0 的 y，恰恰常常是方程的解。四个开关：
✓ y′ = y：碰巧没丢
y′ = y²：真的丢了一个解
⚠️ y′ = 2√y：连唯一性都丢了
规矩：先把常数解拎出来
这是本章最好查、也最常丢分的一处： g(y) = 0 有没有根；常数函数本身就是解 ，把它们单独列出来，再看通解里含不含。不含的，叫奇解——它不是通解的特例，是通解之外的另一条。
第 ③ 个开关连着第八页那张许可证。 y′ = 2√y 的可怕之处不是丢解，是过同一个点竟有两条解 ——初值定不住轨迹。2√y 在 y = 0 处陡得没有上限 （导数趋于 ∞）。第八页那第三张许可证说过：|f′| ≤ M ⟹ 利普希茨（变化速度有上限） ——解的唯一性定理要的正是这个条件。它一失效，"规律＋初值＝唯一轨迹"就不成立了。
怎么在不解方程 的前提下，一眼看出 y ≡ 0 是 y′ = y² 的解？
代回去。 左边 y′ = 0 ，右边 y² = 0 ，相等，成立。 甚至不需要知道通解长什么样 。凡是"常数函数"，代进方程只需算一次——左边永远是 0，看右边是不是也是 0 就行。 拿到方程先解一次 g(y)=0，把根代回去验一遍。 这一步花不了十秒。
第 6 幕
齐次方程：不能分离的，想办法变成能分离
dy/dx = (x + y) / x 分不开——右边 x 和 y 缠在一起。但注意它可以写成：
dy/dx = 1 + y/x
右边只依赖 y/x 这一个组合。 那就干脆拿这个组合当新未知量：
令 u = y / x，于是 y = ux换元。换的是"未知函数"本身
y′ = u + x·u′对 y = ux 用乘积法则（第十六页）
u + x u′ = f(u) ⟹ x u′ = f(u) − u代进原方程
du / (f(u) − u) = dx / x可以分离了 —— 回到第 4 幕
换元管用不是碰运气，是因为方程本来就只认 y/x 这个比值。 那就以比值为未知量 ——x 自然就被挤出去了。"换元"这一招，你已经用了第三次 ：第十五页积分换元、第十九页参数方程、这一页。每次都是同一个动作：换一个让结构显形的变量。
为什么这类方程叫「齐次」？它和第十六页说的"齐次"是一回事吗？
这里的"齐次"指的是右端函数关于 x、y 是零次齐次的 ：把 x、y 同时放大 t 倍，f(tx, ty) = f(x, y) 不变。不变就意味着它只能依赖比值 y/x ——这正是换元管用的原因。下一页还会出现另一个"齐次" （齐次线性方程，指右端为零），那是完全不同的意思 。同一个词在这一章里有两个含义，看见时先问一句是哪一种。
第 7 幕
一阶方程的分岔口
拿到一个一阶方程，按顺序问三句话：
这一章看着像一本"技巧目录"，其实只有一条线：把不能分离的，想办法变成能分离的。 它们是同一件事的不同入口。
⚠️ 还有一件必须说清楚的事：绝大多数微分方程根本解不出来。 极少数幸运儿 ，而课本挑的正是那几个。第十二页 的 e−x² 、第二十三页 的菲涅尔积分已经说过同一件事——"写不出来"是常态，"写得出来"才是例外。
解不出来的时候，人们怎么办 ① 画方向场 （第 3 幕那张图）——不用解就能看出解的走向；② 数值解 ——沿着方向场一小步一小步走（欧拉法、龙格–库塔），这正是第二十一页微元法的思路 ；③ 定性分析 ——不求解，只问"最后会稳定到哪儿、会不会振荡"。工程上真正常用的是后两条。求解析解反而是最少用的那一条。
第 8 幕
整节话，就这四行
微分方程 = 已知"怎么变"，求"是什么样" ，未知的是一个函数方程给规律，初值给这一次 ；阶数是几，就要给几个初值分离变量前先查 g(y)=0 ，那些常数解可能是丢掉的奇解解对不对，代回去就知道 ——这一章永远不必问别人
主线只有一句：不能分离的，想办法变成能分离的。
今 天 的 任 务
八道，第 4、6、8 题是这一页的命门
每道题做完都要把解代回原方程验一遍 ，没有那一步不算做完——和第十二页那条规矩一模一样。
验证 y = Ce−2x 是 y′ + 2y = 0 的解代回去。两行
解 y′ = 3x²y ，并求满足 y(0) = 2 的那一条分离变量。答案 y = 2e^(x³)
解 y′ = x / y 分离后是 y dy = x dx。答案 y² − x² = C（隐式就行）
⚠️ 解 y′ = y² ，并指出通解漏掉了哪个解 通解 y = −1/(x+C)，漏掉 y ≡ 0。先自己发现，再看第 5 幕
牛顿冷却：一杯 90℃ 的水放在 20℃ 房间里，10 分钟后 70℃。求温度函数套第 4 幕那个模型。先定 k
⚠️ 解 y′ = 2√y ，找出过点 (0,0) 的两条 不同的解 y ≡ 0 和 y = x²。两条都要代回验证
解齐次方程 y′ = (x + y)/x 令 u = y/x。答案 y = x(ln|x| + C)
⚠️ 用自己的话说清楚：为什么一阶方程的通解带一个任意常数，而二阶带两个 答案里要出现"每积一次冒出一个常数"和"初速度/初位置"
第 6 题请两条解都代回验证 ，并在旁边写一行："这说明初值不一定能定住轨迹" 。大多数教材要到很后面才说，而你今天亲手撞见了它。
对完答案，每道错题旁只写一句：忘了查常数解 、分离时符号搬错 、没定 C 就交卷 ，还是纯算错 ？