← 回到目录
第 1 幕
一个第十三页答不上来的问题
求曲线 y = f(x) 从 a 到 b 的长度。
你手上确实有定积分。可第十三页那一整套东西，是为面积推出来的：分割、拿矩形近似、求和、取极限。
而长度不是面积。凭什么同一件工具还能用？
这个问题的一般形式是：
拿到一个新的量（长度、体积、功、水压力、转动惯量……），怎么判断它能不能写成积分？
如果能，被积表达式又该写什么？
第十三页教的是积分是什么；这一节教的是什么时候该用它。
第 2 幕
微元法：把四步压成两步
第十三页那四步（分割 · 近似 · 求和 · 取极限），每遇到一个新问题就重走一遍，太累。微元法把它打包成一个动作：
- 确认这个量 Q 对区间是「可加」的把 [a,b] 切成两段，Q 也正好等于两段的 Q 相加——不满足这条，下面全不成立
- 在一小段 [x, x+dx] 上写出 dQ = f(x) dx这一步是全部的技术含量：在无穷小的一段上，把复杂的东西近似成「某个数 × dx」
- Q = ∫ₐᵇ f(x) dx写下积分号，收工
整个方法就发生在那一条窄带里 —— 想清楚它，剩下的交给积分号
微元法真正在做的事，是把一个"整体上说不清"的量，
换成一个"局部上说得清"的量。
一整条曲线有多长？说不清。
可那一小段有多长？几乎就是一条直线段——这个说得清。
第 3 幕
凭什么可以把零头扔掉
第 2 幕第 ② 步写的是近似：真实的 ΔQ 并不正好等于 f(x)Δx，中间差着一点。
那一点差额被扔掉了。凭什么？
矩形是主部，顶上那个小三角是零头 —— 它的面积约 ½·f′·(Δx)²
因为零头是 (Δx) 的高阶无穷小
主部 ~ Δx，零头 ~ (Δx)²。
切成 n 段时，每个零头约 1/n²，一共 n 个，加起来约 1/n → 0。
零头会随着切得更细而集体消失——这正是它可以被扔掉的全部理由。
这张图你见过两次。
第十四页那块正方形铁板：Δy = f′Δx + o(Δx)，扔掉零头得到 dy。
第十六页那块被撑大的长方形：角上 du·dv 是高阶，扔掉得到乘积法则。
这一页是同一个动作的第三次出场：写主部、扔零头。
而"零头能不能扔"的判据，第四页早就给过了——看它是不是高阶。
⚠️ 如果误差和 Δx 同阶，这套办法立刻作废。
比如误差是 0.1·f(x)Δx，那 n 个加起来仍是 0.1∫f——答案永远差 10%，切多细都没用。
下一幕那个著名的谬论，栽的就是这个跟头。
切得越细，零头个数越多（n 个）。为什么总量反而变小？
因为个数涨得慢，每个缩得快。
个数是 n（一次方），每个零头约 (1/n)²（二次方）——乘起来是 1/n，仍然趋于 0。
这就是"高阶"两个字在这里的全部作用：它保证了"多"追不上"小"。
如果每个零头只是 c/n（同阶），n 个加起来就是常数 c，永远不走。
第 4 幕
三件几何活，一个模子
把第 2 幕那个动作套在三个问题上，微元长这样：
弧长那个根号不用背，它就是勾股定理：
把那一小段曲线看成直角三角形的斜边
ds² = dx² + dy² ⟹ ds = √(1 + (dy/dx)²) dx
这一步把 dx 和 dy 当成实实在在的边长在用。
能这么干，靠的是第十四页给它们发的那张身份证——
在那之前，dx 只是挂在积分号末尾的一个记号，没资格进勾股定理。
四分之一个单位圆的弧长，用这个公式列出来是 ∫₀¹ dx/√(1−x²)。这个积分有什么特别之处？
它在 x = 1 处无界——是个瑕积分（第二十页那一套）。
好在被积函数在 1 附近的量级是 1/√(1−x)，相当于 p = 1/2 < 1，按竖墙那一栏的结论：收敛。
算出来是 arcsin 1 = π/2——四分之一单位圆的弧长，一分不差。
如果第二十页那张表判它发散，那圆周长就成了无穷——两页在这里对上了账。
第 5 幕
⚠️ 支点：一个能"证明"π = 4 的谬论
网上流传过一张图：拿一个正方形去逼近它的内切圆，把四个角一次次折进去。
折出来的阶梯形越来越像圆，可它的周长从头到尾都是 8（正方形的周长）。于是"圆周长 = 8"，直径是 2，π = 4。
哪里出了问题？四个开关：
阶梯的每一条边，永远是水平或竖直的。
而圆在那一点的切线是斜的——两者的方向差着一个不消失的角度，无论切多细。
面积只关心"图形在哪儿"，弧长还关心"曲线朝哪儿走"。
位置收敛了，方向没有收敛，所以面积算对了，长度算错了。
回头看第 4 幕那个公式，一切都对上了
ds = √(1 + f′(x)²) dx —— 里面明明白白站着一个 f′。
弧长微元依赖导数，也就是依赖方向；面积微元 dA = f dx 里没有 f′，只依赖位置。
阶梯法的 f′ 永远是 0 或 ∞，从来没有靠近过圆的 f′——所以它算面积可以，算长度不行。
⚠️ 用第 3 幕的话说：阶梯法的弧长误差和 Δx 同阶，不是高阶。
每一小段，阶梯走的是两条直角边（长 dx + dy），真实走的是斜边（√(dx²+dy²)）——
这两者的差不随细分而消失，它就是那个永远存在的 10%（这里是 27%）。
同样是"用简单图形逼近"，为什么第十三页的矩形逼近面积是对的，这里的阶梯逼近周长就错了？
因为两者被扔掉的东西阶不一样。
矩形逼近面积：每格误差是那个小三角，约 (Δx)²，高阶，n 个加起来趋于 0。
阶梯逼近周长：每格误差是"两直角边 − 斜边"，约 (1+|k|−√(1+k²))·Δx，和 Δx 同阶，n 个加起来是个不为零的常数。
"看起来越来越像"从来不是判据——判据是第 3 幕那一条：被扔掉的部分必须是高阶的。
第 6 幕
正确的做法：割圆术
换成内接正 n 边形，每条边都是真正的弦，方向随 n 增大而贴近切线。拖动看：
这就是刘徽和阿基米德算 π 的办法
内接正 n 边形周长 = 2n·sin(π/n)（单位圆）。
阿基米德算到 n = 96，得到 3.1408 < π < 3.1429；
祖冲之把它推到 n = 24576，逼出了 3.1415926 < π < 3.1415927——领先世界一千年。
他们做的事，正是这一页第 2 幕那个动作：在一小段上把曲线换成直线。
对比很干净：同样是"用折线逼近圆"，一个对一个错。
差别不在"像不像"，在每一小段的方向有没有跟着收敛。
正多边形的边是弦，方向趋于切线；阶梯的边永远横平竖直。
第 7 幕
顺手把上一页那支号角算出来
第二十页末尾提过托里拆利的号角：y = 1/x（x ≥ 1） 绕 x 轴转一圈。
当时只说了结论，现在你有工具了。
切一片薄圆盘：半径 y = 1/x，厚度 dx
- dV = π y² dx = π dx / x²薄圆盘的体积＝底面积 × 厚度
- V = ∫₁∞ π dx/x² = πp = 2 > 1，收敛（第二十页那张表）——体积是有限的 π
- S = ∫₁∞ 2πy·√(1+y′²) dx > ∫₁∞ 2π dx/xp = 1，发散——表面积是无穷
"能灌满油漆，却刷不完它的内壁。"
两个积分只差在被积函数是 1/x² 还是 1/x——正好分落在第二十页那条分水岭的两侧。
这一页负责把问题写成积分，上一页负责判断它收不收敛。两件事都到位，怪物才被算清楚。
下一页：把同一个动作搬到物理上
变力做功 dW = F(x)dx · 水压力 dP = ρg·h·L(h)dh · 引力、转动惯量……
句式一模一样：在一小段上，把变化的量当成不变的，写出 d(某量) = (某式) dx。
会了这一句，第六章就只剩查表了。
第 8 幕
整节话，就这三行
微元法＝在一小段上把复杂的量近似成「常数 × dx」，然后 ∫
合法的条件只有一条：被扔掉的零头必须是 dx 的高阶无穷小
面积只看位置，弧长还看方向——所以弧长微元里必须站着一个 f′
这一节是全书最像"方法"的一节：它不多讲一个定理，只教你一句可以反复套用的句式。
今 天 的 任 务
八道，第 4、6、7 题是这一页的命门
每道题先把微元那一行单独写出来（dA = …、ds = …），再写积分号。这一行写对，题就做完了一半。
- 求 y = x² 与 y = x 围成的图形面积微元是 dA = (上 − 下)dx。答案 1/6
- 求 y = √x（0 ≤ x ≤ 1）绕 x 轴旋转所得的体积dV = πy²dx = πx dx。答案 π/2
- 求 y = x^(3/2)（0 ≤ x ≤ 1）的弧长先算 f′ = (3/2)√x，再套 √(1+f′²)。答案 (13√13 − 8)/27 ≈ 1.4397
- ⚠️ 写出四分之一单位圆弧长的积分，并说明它为什么是个瑕积分、为什么收敛第 4 幕那道闸门。答案 π/2
- 托里拆利号角：写出体积与表面积的积分，指出各自的 p 是多少第 7 幕。一个 p=2，一个 p=1
- ⚠️ 用自己的话说清楚：阶梯逼近圆，为什么面积对了、周长错了答案里必须出现"方向"和"高阶"两个词
- ⚠️ 算一下 n = 6, 12, 96 时内接正 n 边形的周长（单位圆，公式 2n·sin(π/n)），并与 2π 比较96 边形那个数就是阿基米德手算了一辈子的结果。体会一下他没有计算器
- 某物体沿 x 轴移动，受变力 F(x) = 3x²（牛顿），从 x=0 移到 x=2 米。求做功先写 dW = F(x)dx。答案 8 焦耳。这题是下一页的预告
第 6 题请真的用自己的话写完整，不要抄。
这一页所有的道理都压在那一段话里："看起来越来越像"从来不是判据，判据是被扔掉的部分够不够高阶。
写得出这句话的人，以后遇到任何"用简单东西逼近复杂东西"的方法，都会先问一句：误差是几阶的。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是微元写错了、上下限搞反、忘了那个 f′，还是纯算错？