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第 1 幕
先拆掉一个你用了十年的方法
中学画函数图像的办法：取几个点，算出来，连起来。
问题在最后两个字。怎么连？下面三条曲线，经过完全相同的五个点：
三条都对得上那五个点，可它们是三个完全不同的函数。描点法根本分不出来。
描点只能告诉你那几个点，永远说不清中间。
而上一页那座桥，管的正是「中间」——这一页就是去把它兑出来。
为什么「多描几个点」解决不了这个问题？
因为你描多少个点，都是有限个。
而两个相邻点之间还有无穷多个位置，永远塞得下一次你没看见的抖动。
这是第一页那件事的翻版：有限的采样，推不出无限的结论——除非有定理替你担保。
第 2 幕
第一件事：这一段是涨还是跌
上一页的第一张许可证：f′ > 0 ⇒ 单调增。
注意它的力度：只要在一整个区间上处处 f′ > 0，整段就是增的——你不需要去比较区间里的每一对点，那是永远比不完的。
下面那条带子是 f′ 的正负；上面的升降跟着它走
于是画图的第一步定了：算 f′，解出它的零点，把定义域切成几段，逐段看符号。
符号定了，升降就定了——整段都定了，不是几个点。
第 3 幕
转折的地方：极值
f′ 由正变负的那一点，函数从涨转跌——那就是极大值点。反过来就是极小值。
于是很自然地想到：解 f′(x) = 0，找出所有驻点，就是极值点。
这一步错了，而且是本章最高频的错。
f′(x₀) = 0 只说明「这里是平的」，不说明它掉头了。
最短的反例：
y = x³ 在原点：f′(0) = 0，可它一路只涨
驻点只是候选，不是结论。
判定极值的唯一依据是：f′ 在这一点两侧变号。
——又是「两侧」。第一页那两队人马，第三次出场。
第 4 幕
⚠️ 支点：关于「极值点」的四个开关
「极值点就是 f′=0 的点」——这句话错在两头。四个开关，各拆一次。
四张图合起来，才是完整的规矩：
极值点的候选 = 驻点（f′=0） ∪ 不可导点
闭区间最值的候选 = 驻点 ∪ 不可导点 ∪ 两个端点
候选找齐之后，还要逐个验证——驻点不一定是极值。
第 4 个开关是第六页的回声：闭区间上连续函数一定取得到最值，可那个最值完全可以待在端点上——端点不满足 f′=0，却照样是答案。
只在「驻点」里找最值的人，会漏掉它。
|x| 在 0 处明明是最小值，可那儿没有导数。这说明求极值时，光解 f′=0 会漏掉什么？
会漏掉不可导点。
极值的定义只关心「附近没有比它更小/更大的」，压根没要求可导。
所以候选名单必须是：驻点 ∪ 不可导点；在闭区间上求最值，还要再加上两个端点。
第 5 幕
第二件事：它是怎么弯的
知道了升降，图还是画不准。下面两条曲线都是单调增，可长相天差地别：
一个越涨越快，一个越涨越慢——一阶导管不了这个区别
管这件事的是二阶导：f″ > 0 时曲线凹向上（碗形），f″ < 0 时凸（帽形）。
一阶导告诉你往哪走，二阶导告诉你怎么拐。
工程上天天在用这个区别
速度为正 = 在前进；加速度为正 = 还在提速。
产量在涨（f′>0）但边际收益递减（f″<0）——这句话说的就是「越涨越慢」。
第 6 幕
拐点：同一个坑，再踩一次
f″ 变号的地方叫拐点——曲线在那里从碗形翻成帽形。
那么解 f″(x) = 0 就能找出拐点？又错了，而且错法和第 3 幕一模一样：
y = x⁴ 在原点：f″(0) = 0，可两边都是凹的
把两条规矩并排放，你会发现它们是同一句话：
f′ = 0 是极值的候选，必须验 f′ 变号。
f″ = 0 是拐点的候选，必须验 f″ 变号。
「等于零」从来不是结论，「变号」才是。
第 7 幕
渐近线：这一章唯一不用导数的一步
前六幕全在盯「这一点」——这一点是极值吗、这一点凹还是凸。可纸是有限的，曲线要跑到纸外面去。
远处长什么样？问这个问题不需要导数，只需要第一章那件工具：极限。
三条全是旧账，一条新东西都没有：
铅直渐近线的位置，就是第二页那张决策树里的第二类·无穷型间断点；
水平与斜用的是第三页讲过的 x → ∞ 的极限；
而 b = lim(f − kx) 那一步是 ∞ − ∞ 型——这种式子必须先化简再取极限，硬拆必错。
⚠️ 为什么 ∞ − ∞ 不能拆着算，这一页只让你先记住结论；专门讲它的是第十八页（极限运算法则），那一页会把这笔账还上。
四个开关，把三种渐近线和一个最常见的误解一次看完：
最该改掉的一个印象：渐近线不是「碰不到的线」。
定义里只说距离趋于 0，从来没说不许相交——sin x / x 穿过 y = 0 穿了无穷多次，而 y = 0 确确实实是它的水平渐近线。
「渐近」说的是远处的趋势，不是近处的禁令。
求 f(x) = (x²+1)/(x−1) 的斜渐近线。b 那一步为什么不能写成 lim f − lim x？
k = limx→∞ f/x = limx→∞ (x²+1)/(x²−x) = 1。
再求 b = limx→∞ (f − x)——两项各自都趋于 ∞，这是 ∞ − ∞ 型，拆开就废了（为什么必须先化简，第十八页第 3 幕会用三个 ∞ − ∞ 的例子讲透）。
⚠️ 严格说这里的 x → ∞ 要分成 x → +∞ 与 x → −∞ 两次算——两侧的 k、b 可以不一样，
那就是两条不同的斜渐近线（本题两侧相同，所以合成一条写）。
正确做法是先化简：f − x = (x²+1−x²+x)/(x−1) = (x+1)/(x−1) → 1。
所以斜渐近线是 y = x + 1。
顺带一个更快的路子：直接把式子拆成 f = x + 1 + 2/(x−1)，后面那项趋于 0，前面那截就是渐近线——一眼就看出来了。
f(x) = sin x / x 在 x = 0 处也没有定义。那 x = 0 是它的铅直渐近线吗？
不是。铅直渐近线要求 lim(x→0) f = ∞，
可 lim(x→0) sin x / x = 1——第五页那台印钞机造出来的头一个结果。
它在 x = 0 处只是个可去间断点（第二页决策树的第一格），补上一个点就连续了。
结论：不是每个间断点都给你一条铅直渐近线，只有「无穷型」那一类才算。
第 8 幕
装起来：一个函数的完整体检
把这一页学的东西按顺序排好，就是一套不用描点的画图流程。拿 f(x) = x³ − 3x 走一遍：
- 定义域先看它在哪儿有定义。这里是全体实数
- 算 f′，定升降与极值f′ = 3x² − 3 = 0 → x = ±1；两侧变号 → 极大 f(−1) = 2、极小 f(1) = −2
- 算 f″，定凹凸与拐点f″ = 6x = 0 → x = 0；两侧变号 → 拐点 (0, 0)
- 查渐近线上一幕那三种各查一遍。这个函数一条也没有——多项式在无穷远处只会一路涨/跌，贴不上任何直线
- 最后才描点算几个关键点的值，把上面定好的骨架填上去
注意顺序：描点是最后一步，而且只是「填数」。
形状在你落笔之前就已经被 f′ 和 f″ 定死了——这就是这一页和中学的全部差别。
为什么这套流程能保证「中间不会有你没看见的抖动」？靠的是哪一条定理？
靠上一页的拉格朗日中值定理。
正是它保证了「整段上 f′ > 0 ⇒ 整段单调增」——把一个个点上的导数信息，合法地推广到了整段区间。
没有那座桥，f′ 的符号只是一堆孤立的点，管不住中间。
第 9 幕
整节话，就这四行
一阶导定升降与极值，二阶导定凹凸与拐点。
导数等于零只是候选，必须验「变号」。
候选名单别漏：极值要算上不可导点，闭区间最值还要算上端点。
渐近线不用导数，用极限；而且它不是「碰不到的线」。
今 天 的 任 务
十道，第 3 ~ 5、7 题是一组
那四道都在训练同一件事：把「候选」和「结论」分开。别只挑会做的做。
- 求 f(x) = x³ − 3x 的单调区间与极值做完对着第 8 幕的开关核一遍
- 接上题，求它的凹凸区间与拐点f″ 算出来是一次函数，符号很好判
- ⚠️ f(x) = x³ 在 x = 0：f′(0) = 0，它是极值点吗？说明理由理由必须落在「变号」两个字上
- ⚠️ f(x) = x⁴ 在 x = 0：f″(0) = 0，它是拐点吗？说明理由和上一题是同一句话的两个版本
- ⚠️ f(x) = |x| 在 x = 0：是极值点吗？f′(0) 存在吗？由此写出「极值候选」应该包含哪几类点这题的答案是一条要背下来的名单
- 求 f(x) = x + 1/x 在 (0, +∞) 上的最小值先算 f′，再验变号。答案是个整数
- ⚠️ f(x) = x 在 [0, 2] 上的最大值在哪？它满足 f′ = 0 吗？由此写出「闭区间最值候选」的名单只在驻点里找的人，这题一定答不上来
- 某函数在一个区间上 f′ > 0 且 f″ < 0。用一句话描述它的形状，并举一个具体例子提示：想想 ln x 或者边际收益递减
- ⚠️ 求 f(x) = (x²+1)/(x−1) 的全部渐近线铅直一条、斜一条。算 b 的那一步先写下「这是 ∞−∞ 型」再动手
- ⚠️ 判断对错：「曲线不会与它的渐近线相交」。举反例反例第 7 幕给过。先把你的第一反应写在纸上再翻
第 5 题和第 7 题写出的那两份「候选名单」，请单独抄在纸的显眼处。
后面所有求极值、求最值的题，错因十有八九不是不会算，而是名单没列全。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是把「等于零」当成了结论、候选名单漏了项、忘了验变号，还是纯算错？