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第 1 幕
极限本来是干什么用的
有些点，你到不了，但你偏偏必须知道那儿是多少。
比如这条曲线：y = (x² − 1)/(x − 1)。把 x = 1 代进去，分母是 0，算不出来——曲线在这里是一个空心的洞。
拖动滑块，让 x 从两边慢慢挤向 1
洞里没有值，可整条曲线明明白白地指着 2。这就是极限干的事。
极限 = 不进去，从周围推断中心。
第 2 幕
为什么偏偏分成"左"和"右"
"从周围推断"，就得从周围包抄过来。那么问题来了：在一条数轴上，能从几个方向包抄一个点？
一条直线上，通往一个点的路，一共就这两条
不是有人规定要分左右。是数轴上就只有这两条路——不多，也不少。
所以"左极限、右极限"这两个词，是被地形逼出来的，不是被规定出来的。
一条直线上，通往一个点的路为什么恰好是两条？不是三条、四条？
因为数轴是一维的。要靠近一个点，只能从它左边或右边过来，没有第三个方向。
所以「左极限、右极限」这两个词是被地形逼出来的，不是谁规定的。
第 3 幕
出事了：两队人马报回不同的数
点火开关。t < 0 时电压是 0 V，t ≥ 0 时是 12 V。
问：t = 0 这一瞬间，电压是多少？
让探针从一侧开过来，看它停在哪个读数上
读数 —
左队报回：0 V
右队报回：12 V
极限本来应该是一个数。现在左队说 0，右队说 12。
你说，听谁的？
t = 0 这一瞬间，电压到底是多少？先给一个你自己的答案。
现在还不该给数。你能确定的只有两件事：从左边逼近读到 0，从右边逼近读到 12。
怎么处理这两个不同的战报，正是下一幕的事。
第 4 幕
"那取个平均，6 V 不行吗"
几乎每个人第一反应都是这个。所以必须当场把它掐掉。
6 V 这条高度上，从头到尾没有发生过任何事
极限是拿来预测的：你从左边逼近，你的电压表读到的是 0，不是 6；从右边逼近，读到的是 12，也不是 6。
一个在两侧都从未发生过的数字，预测不了任何东西。
所以数学的选择是：谁都不听，判定"极限不存在"。
第 5 幕
可是"不存在"这三个字，太粗糙了
下面三个函数在 x → 0 处的判决全都是"极限不存在"。可你看看它们像是一回事吗：
(a) 两边都很规矩
只是一个 −1 一个 +1
(b) 两边都跑掉了
一个奔 −∞ 一个奔 +∞
(c) 两边都在疯抖
连"奔向哪"都说不出
三个都判"不存在"，等于病历上所有病都写"不舒服"。
只有一个判决，信息量太小了。
这三个函数的极限都不存在。用一句话说出它们各自不同在哪。
(a) 两边都很规矩，只是一个 −1 一个 +1；
(b) 两边都跑掉了，一个奔 −∞ 一个奔 +∞；
(c) 两边都在疯抖，连奔向哪都说不出。
说不出这三句的差别，就等于把三种病都写成了「不舒服」。
第 6 幕
于是：一个账，拆成两个账
同一个动作，按方向分开记账
左极限：只准 x 从左边来，看 f(x) 奔向哪
右极限：只准 x 从右边来，看 f(x) 奔向哪
全部就这么多。它不是一个新东西，是把原来那个极限，按方向拆开记。
第 7 幕
拆开之后，白拿三样东西
好处 一
终于能说清"怎么个不存在法"
第 5 幕那三种坏法，现在各有各的名字。加上"洞"那一种，凑齐四类间断点：
可去：左=右，就是
中间缺个点
跳跃：左≠右，
但两边都很规矩
无穷：至少一边
整个跑掉了
振荡：抖得连去向
都说不出
——注意，这四个格子，全都是用左右极限定义出来的。这就是为什么这一节必须学扎实：下一节整节都建在它上面。
好处 二
在"定义域的边缘"也能继续干活
看 √x 在 x = 0：左边根本没有路可走。
左边不是"走过去没结果"，是压根没有路
如果只有"双侧极限"这一件工具，这里就直接没法谈了。有了单侧极限，右边这条路照走不误。
现实里这种点满地都是：开机的那一瞬间、区间的端点、速度不能取负、时间不能倒流。
好处 三
拿到一把现成的尺子
两队报回的数一样 → 合并成一个数；不一样 → 判定不存在
⚠️ 提前打个招呼：这把尺子在后面的题里，十次有九次是拿来证明"极限不存在"的。多数人学完只会正着用，这就废掉了它一大半。
那把「左＝右」的尺子，在后面的题里最常见的用法是什么？
证明极限不存在。十次有九次。
只会正着用（证存在）的人，等于把这条判据废掉了一大半。
第 8 幕
整节话，就这两行
极限 = 从两侧包抄一个够不着的点。
左右极限 = 把两侧的战报，分开看。
今 天 的 任 务
只画图。一个 ε 都不许写。
下面六个，每个做三件事：① 徒手画出图像 ② 在图上标出左、右两个值 ③ 说它属于第 7 幕四个格子里的哪一格。
- f(x) = |x| / x，看 x → 0提示：先想清楚 x>0 和 x<0 时它分别等于几
- f(x) = [x]（取整），看 x → 2提示：1.99 的整数部分是几？2.01 呢？
- f(x) = 1 / x²，看 x → 0⚠️ 这题两边一样，但答案不是"极限存在"。想想为什么
- √x，看 x → 0提示：这题的重点不在算，在"哪一侧有路"
- f(x) = x · sin(1/x)，看 x → 0提示：先画出 y=x 和 y=−x 两条斜线当围栏
- 分段函数：x < 0 时 f(x) = ex；x ≥ 0 时 f(x) = a + x画 a=0 和 a=1 两张图，看哪一张"接得上"。这就是考试的主力题型
画完这六张图，你就已经会用左右极限了。
定义留到明天再写——先有图，符号才有地方挂。