今天一个 ε 都不写。只看图，只看一件事——不发明这个东西，我们会卡在哪里。
有些点，你到不了，但你偏偏必须知道那儿是多少。
比如这条曲线：y = (x² − 1)/(x − 1)。把 x = 1 代进去，分母是 0，算不出来——曲线在这里是一个空心的洞。
洞里没有值，可整条曲线明明白白地指着 2。这就是极限干的事。
「从周围推断」，就得从周围包抄过来。那么问题来了：在一条数轴上，能从几个方向包抄一个点？
点火开关。t < 0 时电压是 0 V，t ≥ 0 时是 12 V。
问：t = 0 这一瞬间，电压是多少？
几乎每个人第一反应都是这个。所以必须当场把它掐掉。
极限是拿来预测的：你从左边逼近，你的电压表读到的是 0，不是 6；从右边逼近，读到的是 12，也不是 6。
一个在两侧都从未发生过的数字，预测不了任何东西。
下面三个函数在 x → 0 处的判决全都是「极限不存在」。可你看看它们像是一回事吗：
第 5 幕那三种坏法，现在各有各的名字。加上「洞」那一种，凑齐四类间断点：
——注意，这四个格子，全都是用左右极限定义出来的。这就是为什么这一节必须学扎实：下一节整节都建在它上面。
看 √x 在 x = 0：左边根本没有路可走。
如果只有「双侧极限」这一件工具，这里就直接没法谈了。有了单侧极限，右边这条路照走不误。
现实里这种点满地都是：开机的那一瞬间、区间的端点、速度不能取负、时间不能倒流。
下面六个，每个做三件事：① 徒手画出图像 ② 在图上标出左、右两个值 ③ 说它属于第 7 幕四个格子里的哪一格。
上面六道是我给的，只画图、不写 ε。
下面十二道是课本自己的——先在纸上做完，再点开对答案。第 5、7–12 题课本标了 ＊，是 ε-δ 的正式训练。
先把图读成几句话：
x < −2 一条斜线升到 (−2, 0)，该点空心；
−2 < x < −1 斜线降到 (−1, −1)；−1 ≤ x < 0 水平在 y = −1，(0, −1) 空心；
(0, 0) 一个实心点；x > 0 水平在 y = 1，(0, 1) 空心。
(1) x → −2：左边那队报回 0，右边那队也报回 0。两队一致 ⇒ lim = 0。
⚠️ 那一点是空心的，但这完全不影响极限——极限从来只问周围。
(2) x → −1：左边（斜线）降到 −1，右边（水平段）就是 −1 ⇒ lim = −1。（这里只是个拐角，不是断点。）
(3) x → 0：左边报回 −1，右边报回 1。两队报的数不一样 ⇒ 极限不存在。
⚠️ 而 f(0) = 0（那个实心点）——它既不等于左极限也不等于右极限，是第三个数。
读图：−1 < x < 0 是斜线 y = x（两端空心）；0 < x < 1 是斜线 y = −x（两端空心）；
(0, 1) 有实心点 ⇒ f(0) = 1；(1, 0) 有实心点 ⇒ f(1) = 0；1 < x < 2 是 y = x − 1。
x → 0：左极限（沿 y = x）= 0；右极限（沿 y = −x）= 0 ⇒ 极限存在，等于 0。
x → 1：左极限（沿 y = −x）= −1；右极限（沿 y = x−1）= 0 ⇒ 极限不存在。
| 陈述 | 判定 | 理由 |
|---|---|---|
| (1) x→0 极限不存在 | ✗ 错 | 两侧都是 0，存在 |
| (2) x→0 极限 = 0 | ✓ 对 | 左右都是 0 |
| (3) x→0 极限 = 1 | ✗ 错 | 1 是 f(0)，不是极限 |
| (4) x→1 极限 = 0 | ✗ 错 | 左 −1、右 0，不存在 |
| (5) x→1 极限不存在 | ✓ 对 | 两队打架 |
| (6) (−1,1) 内每点极限都存在 | ✓ 对 | 除 0 外是直线段；0 处两侧也一致 |
读图（⚠️ 这张图最容易读错的地方在左边）：
图像是从 (−1, 1) 那个空心圆开始的——它左边那条水平线是 x 轴本身，不是函数图像。
也就是说 x < −1 处 f 根本没有定义。
−1 < x < 1 是抛物线 y = x²，两端 (−1,1)、(1,1) 与顶点 (0,0) 都空心；
(0, 1) 有实心点 ⇒ f(0) = 1；x > 1 时 f = 0（画在 x 轴上，与轴重合）。
| 陈述 | 判定 | 理由 |
|---|---|---|
| (1) limx→−1⁺ = 1 | ✓ 对 | 从抛物线一侧靠近，y → 1 |
| (2) limx→−1⁻ 不存在 | ✓ 对 | x < −1 处 f 无定义，左极限根本谈不上 |
| (3) limx→0 = 0 | ✓ 对 | 抛物线两侧都 → 0 |
| (4) limx→0 = 1 | ✗ 错 | 1 是 f(0)，不是极限 |
| (5) limx→1⁻ = 1 | ✓ 对 | 抛物线趋于 (1,1) |
| (6) limx→1⁺ = 0 | ✓ 对 | 右边沿 x 轴 |
| (7) limx→2⁻ = 0 | ✓ 对 | 2 附近全在 x 轴上 |
两个函数在 x = 0 处都没有定义（分母为零），但这不妨碍问极限。
f(x) = x/x：只要 x ≠ 0 就恒等于 1。左极限 = 右极限 = 1 ⇒ 极限存在，等于 1。
φ(x) = |x|/x：x > 0 时 = 1；x < 0 时 = −1。
右极限 = 1，左极限 = −1 ⇒ 极限不存在。
ε-δ 证明永远是三步：把 |f − A| 算出来 → 用 |x − x₀| 把它压住 → 反解出 δ。
(1) |(3x−1) − 8| = 3|x − 3| ⇒ 取 δ = ε/3。
(2) |(5x+2) − 12| = 5|x − 2| ⇒ 取 δ = ε/5。
(3) 先化简（x ≠ −2 时）：(x²−4)/(x+2) = x − 2
|(x−2) − (−4)| = |x + 2| ⇒ 取 δ = ε。
(4) 化简：(1−4x²)/(2x+1) = 1 − 2x
|(1−2x) − 2| = 2|x + 1/2| ⇒ 取 δ = ε/2。
过程换成 x → ∞，δ 就换成 X：要证「存在 X，使 |x| > X 时……」。
(1) |(1+x³)/(2x³) − 1/2| = 1/(2|x|³)
要它 < ε，只需 |x| > ∛(1/(2ε)) ⇒ 取 X = ∛(1/(2ε))。
(2) 关键是有界因子 |sin x| ≤ 1：|sin x/√x| ≤ 1/√x
要它 < ε，只需 x > 1/ε² ⇒ 取 X = 1/ε²。
|x² − 4| = |x − 2| · |x + 2|。麻烦在于 |x+2| 也跟着 x 变，得先框住它。
先限定 δ ≤ 1：则 1 < x < 3，于是 |x + 2| < 5，|x²−4| < 5|x−2|。
要它 < 0.001，只需 |x − 2| < 0.0002。取 δ = 0.0002。
验一下：x = 2.0002 时 |x²−4| ≈ 0.00080 < 0.001 ✓
先把差算干净：y − 1 = (x²−1−x²−3)/(x²+3) = −4/(x²+3)，故 |y−1| = 4/(x²+3)。
要 4/(x²+3) < 0.01 ⇒ x² > 397 ⇒ |x| > √397 ≈ 19.92。取 X = 20。
任给 ε > 0，取 δ = ε。当 0 < |x − 0| < δ 时：
| |x| − 0 | = |x| < δ = ε。按定义 limx→0 |x| = 0。
这是这一页那条判据在「无穷远处」的翻版：x → ∞ 也有两个方向。
任给 ε > 0。由 limx→+∞ f = A，存在 X₁ 使 x > X₁ 时 |f−A| < ε；
由 limx→−∞ f = A，存在 X₂ 使 x < −X₂ 时 |f−A| < ε。
取 X = max{X₁, X₂}。则 |x| > X 时必落在两种情形之一，故 |f(x)−A| < ε。
这就是这一页第 7 幕那条判据的正式证明。两个方向都要写。
必要性（⇒）：设 lim = A。任给 ε，存在 δ 使 0 < |x−x₀| < δ 时 |f−A| < ε。
这个条件本来就同时管住了两侧：限制在右半边得右极限 = A，限制在左半边得左极限 = A。
充分性（⇐）：设左右极限都等于 A。任给 ε，分别得到 δ₁、δ₂；
取 δ = min{δ₁, δ₂}，则 0 < |x−x₀| < δ 时（不论哪一侧）都有 |f−A| < ε。
先把定理叙述出来（这道题一半的分在叙述上）：
若 limx→∞ f(x) = A，则存在 X > 0 与 M > 0，使 |x| > X 时 |f(x)| ≤ M。
证明：在定义里取一个具体的 ε，比如 ε = 1。
则存在 X 使 |x| > X 时 |f(x) − A| < 1，于是
|f(x)| ≤ |f(x) − A| + |A| < 1 + |A|。取 M = 1 + |A|。