接着上一页。你已经会看左右极限了——这一页只做一件事：用它把「坏点」分门别类，并且说清楚为什么值得分。
直觉版的连续是「一笔画下来，笔不抬」。这句话没法验算，得换成能一条条打勾的形式。
不连续不是「一件事」。上面三条，坏哪条都算，而且坏法长得完全不一样：
下面两条曲线都在 x = 0 处断了。你手上只有一个权力：给 x=0 这一个点，指定一个值。
拖动滑块，把那个红点上下挪，看看能不能把曲线接上。
左边那条，只要把点放对高度就接上了，整条曲线其他地方一点毛病没有——它的病只有一个点那么大。
右边那条，你把点放到天上去也没用。无论如何都接不上，因为两侧本来就奔着不同的数去。
可是「修不好」的不止跳跃一种。1/x 修不好，sin(1/x) 也修不好，它们和跳跃是一类吗？
不是。再看一眼：跳跃的左右极限都还在，只是两个数不一样；而 1/x、sin(1/x) 的左右极限压根就不存在。这是两种档次的坏。
所以「第一类、第二类」不是老师随口编的序号。它衡量的是这个坏点还剩多少可用信息：第一类还能报回两个数，第二类连数都报不出来。
跳跃间断点有个好处：既然两个数都在，就能算出 跳跃度 = |右极限 − 左极限|。坏得多严重，是可以打分的。
可去间断点则名副其实——「可去」就是这个毛病可以被去掉：重新定义 f(x₀) 等于那个共同的极限值，函数当场变连续。
前面六幕，只为了长出这一张图。这一节学完的标准，是你能合上书把它默画出来。
注意这两个问题的顺序不能换：必须先问「两侧在不在」，再问「两侧等不等」。
因为两侧都不存在的时候，「等不等」这个问题本身没有意义。
这不是分类癖。四个格子对应四种完全不同的现实处境：
sin x / x 在 x=0 算不出来，但物理上什么也没发生。补一个值，公式照用。采样丢了一个点，也是这一类。
开关通断、换挡、碰撞、相变。函数在这里不可导，控制器过这一点会抖，需要专门处理（限幅、滤波、分段建模）。
共振、除零、结构失稳。算出「无穷大」通常意味着你的模型不该用在这儿了，而不是真有无穷大的力。
无论采样多密，都拿不到稳定读数。这一类点必须绕开，不能指望「多测几次取平均」。
① 徒手画出图像 ② 走一遍第 7 幕那张树，说出它落在哪个格子。
仍然一个 ε 都不许写。
上面八道是我给的，练的是那张决策树。
下面八道是课本自己的——先在纸上做完，再点开对答案。第 6、7 题课本标了 ＊，是选做。
先把图读成四句话（这才是这道题真正考的）：
x < −1 沿 x 轴；(−1, 0) 处空心 →
(0, −1) 处空心的一段下弯曲线；
(0, 0) 空心 → 直线升到 (1, 2) 空心；(1, 1) 有个实心点；
再从 (1, 2) 降到 (2, 0) 空心；x > 2 又沿 x 轴。
x = −1：左极限 0，右极限 0，两侧一致；但该点空心，f(−1) 无定义 → 可去，补充 f(−1) = 0。
x = 0：左极限 −1，右极限 0，两侧都在但不相等 → 跳跃间断点（跳跃度 1）。跳跃修不好，别去补。
x = 1：左右极限都是 2，极限存在；可 f(1) = 1（那个实心点）→ ③ 不满足 → 可去，把 f(1) 改成 2。
x = 2：左右极限都是 0，该点空心 → 可去，补充 f(2) = 0。
分段函数只需要查分界点，其余各段都是初等函数，本来就连续。
(1) 分界点 x = 1：
左极限 limx→1⁻ x² = 1；右极限 limx→1⁺ (2 − x) = 1；f(1) = 1² = 1
三个数全相等 → 连续。
(2) 两个分界点，结论不一样，必须分开查：
x = 1：左极限 limx→1⁻ x = 1，右极限 1（那一段是常数），f(1) = 1 → 连续。
x = −1：左极限 1（x < −1 时恒为 1），右极限 limx→−1⁺ x = −1，f(−1) = −1
左 1 ≠ 右 −1 → 跳跃间断点，跳跃度 2。
(1) 先因式分解：y = (x−1)(x+1) / [(x−1)(x−2)] = (x+1)/(x−2)（x ≠ 1, 2）
x = 1：约掉的因子在这里 → 极限 = 2/(−1) = −2 存在 → 可去，补充 f(1) = −2。
x = 2：约不掉，分母归零而分子不为零 → y → ∞ → 第二类·无穷间断点。
(2) y = x / tan x，要分三种点：
x = 0：tan x → 0 且 x → 0，极限 = 1 → 可去，补充 f(0) = 1。
x = kπ（k ≠ 0）：tan x → 0 而分子 → kπ ≠ 0 → y → ∞ → 第二类·无穷。
x = kπ + π/2：tan x → ∞，故 y → 0 → 可去，补充该点函数值为 0。
(3) x → 0 时 1/x → ∞，cos²(1/x) 在 [0, 1] 之间反复横跳， 左右极限都不存在，也不是 ∞ → 第二类·振荡间断点。
(4) 左极限 limx→1⁻(x−1) = 0，右极限 limx→1⁺(3−x) = 2， f(1) = 0 → 两侧都在但不等 → 第一类·跳跃间断点，跳跃度 2。
这道题的函数是「算出来的」，得先把它算成分段函数。关键只看 x2n 在 n → ∞ 时往哪走：
|x| < 1：x2n → 0，括号 → (1−0)/(1+0) = 1，故 f(x) = x
|x| = 1：x2n = 1（偶次幂），括号 = (1−1)/(1+1) = 0，故 f(±1) = 0
|x| > 1：x2n → +∞，括号 → −1（上下同除 x2n），故 f(x) = −x
于是 f(x) = x（|x|<1）；0（|x|=1）；−x（|x|>1）。剩下的就是查两个分界点。
x = 1：左极限 = 1，右极限 = −1，f(1) = 0 → 跳跃间断点。
x = −1：左极限 = −(−1) = 1，右极限 = −1，f(−1) = 0 → 跳跃间断点。
(1) 对。关键是一条不等式：| |f(x)| − |f(a)| | ≤ |f(x) − f(a)|
右边能被压到任意小（f 在 a 连续），左边就跟着被压到任意小，所以 |f| 在 a 连续。
(2) 错。反例：f(x) = 1（x ≥ 0），−1（x < 0），取 a = 0。
|f(x)| ≡ 1，是常数，处处连续；
可 f 在 0 处左极限 −1、右极限 1 → 跳跃间断。
这条叫「连续函数的局部保号性」。证法只有一句话：把 ε 取得足够小。
取 ε = |f(x₀)| / 2 > 0（因为 f(x₀) ≠ 0，这个 ε 确实是正数）。
由 f 在 x₀ 连续，存在 δ > 0，使 |x − x₀| < δ 时
|f(x) − f(x₀)| < |f(x₀)|/2
于是 |f(x)| ≥ |f(x₀)| − |f(x) − f(x₀)| > |f(x₀)| − |f(x₀)|/2 = |f(x₀)|/2 > 0
所以在这个邻域里 f(x) ≠ 0。
(1) 在 x = 0 处连续。
无论 x 是有理还是无理，都有 |f(x)| ≤ |x|（有理时等号，无理时左边是 0）。
x → 0 时右边 → 0，把 |f(x)| 死死压住 → limx→0 f(x) = 0 = f(0) → 连续。
(2) 在任一 x₀ ≠ 0 处不连续。
任何一点附近既有有理数也有无理数。
沿有理点靠近 x₀：函数值 = x → x₀；
沿无理点靠近 x₀：函数值恒 = 0 → 0。
因为 x₀ ≠ 0，两条路给出两个不同的数 → 极限不存在 → 不连续（第二类）。
第一步：先算出 f(0)。在条件里令 x = y = 0：
f(0) = f(0) + f(0) ⟹ f(0) = 0
第二步：把任意一点的连续性，搬回原点。任取 x₀，考察增量：
f(x₀ + Δx) = f(x₀) + f(Δx)（直接用条件）
两边令 Δx → 0：
limΔx→0 f(x₀ + Δx) = f(x₀) + limΔx→0 f(Δx) = f(x₀) + f(0) = f(x₀)
这正是「f 在 x₀ 连续」的定义（第 1 幕那三条：有定义、极限存在、两者相等）。由 x₀ 任意，得证。