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第 1 幕
先把"连续"说成可检验的话
直觉版的连续是"一笔画下来，笔不抬"。这句话没法验算，得换成能一条条打勾的形式。
在 x₀ 这一点，要同时满足三件事
- 1这一点得有个值 —— f(x₀) 有定义
- 2周围指向某个数 —— lim f(x) 存在（也就是左右两队报回同一个数）
- 3这两个数还得对得上 —— 极限值 = 函数值
连续 = 「周围指的那个数」和「这一点真实的值」对上了。
第 2 幕
三个条件，就有三种掉出去的方式
不连续不是"一件事"。上面三条，坏哪条都算，而且坏法长得完全不一样：
坏了 ①
这点没值，缺个洞
坏了 ②
两队报的数不一样
坏了 ③
有值也有极限，
可这点被挑到别处
间断不是一扇门，是三扇。从哪扇掉出去，后果差得很远。
不连续有三种掉出去的方式——是哪三条条件各自坏了？先别翻回去看。
① 这一点没有值（f(x₀) 无定义）
② 周围没指向同一个数（极限不存在）
③ 有值也有极限，但两个数对不上
第 3 幕
关键问题：这个坏点，修得好吗
下面两条曲线都在 x = 0 处断了。你手上只有一个权力：给 x=0 这一个点，指定一个值。
拖动滑块，把那个红点上下挪，看看能不能把曲线接上。
左边这条
右边这条
左边那条，只要把点放对高度就接上了，整条曲线其他地方一点毛病没有——它的病只有一个点那么大。
右边那条，你把点放到天上去也没用。无论如何都接不上，因为两侧本来就奔着不同的数去。
分类的真正依据不是"长什么样"，是——
能不能只动一个点，就把它修好。
左边那条和右边那条，「只动一个点能不能修好」各是什么答案？为什么？
左边能：把 f(0) 定成那个共同的高度就接上了，曲线其余地方毫发无伤——它的病只有一个点那么大。
右边不能：两侧本来就奔着两个不同的数，那个点放到天上也接不上。
第 4 幕
第一刀：砍在"两侧还在不在"
可是"修不好"的不止跳跃一种。1/x 修不好，sin(1/x) 也修不好，它们和跳跃是一类吗？
不是。再看一眼：跳跃的左右极限都还在，只是两个数不一样；而 1/x、sin(1/x) 的左右极限压根就不存在。这是两种档次的坏。
第一刀砍在这里：
左右极限都存在（等不等无所谓）→ 第一类
只要有一侧不存在 → 第二类
所以"第一类、第二类"不是老师随口编的序号。它衡量的是这个坏点还剩多少可用信息：第一类还能报回两个数，第二类连数都报不出来。
第一刀为什么砍在「两侧还在不在」，而不是砍在「两侧等不等」？
因为两侧都不存在的时候，「等不等」这个问题本身没有意义——你连两个数都拿不出来，拿什么比。
所以这两问的顺序不能换。
第 5 幕
第一类里再切一刀：两个数等不等
相等 → 可去间断点
补一个点就痊愈
不等 → 跳跃间断点
还能量出跳了多高
跳跃间断点有个好处：既然两个数都在，就能算出 跳跃度 = |右极限 − 左极限|。坏得多严重，是可以打分的。
可去间断点则名副其实——"可去"就是这个毛病可以被去掉：重新定义 f(x₀) 等于那个共同的极限值，函数当场变连续。
第 6 幕
第二类里也有两种常见坏法
无穷间断点
至少一侧奔向 ∞
振荡间断点
抖到说不出去向
⚠️ 说清楚一件事：第二类不止这两种，教材只是把最常遇到的两种点了名。所以判断顺序永远是——先确认它是第二类，再看它属于哪种常见形态，而不是反过来去套模板。
第 7 幕
整节的成品：这张树
前面六幕，只为了长出这一张图。这一节学完的标准，是你能合上书把它默画出来。
从上往下走，两个问题就到底了
注意这两个问题的顺序不能换：必须先问"两侧在不在"，再问"两侧等不等"。
因为两侧都不存在的时候，"等不等"这个问题本身没有意义。
第 8 幕
工程上为什么在意这四个格子
这不是分类癖。四个格子对应四种完全不同的现实处境：
可去—— 是我算法的问题，系统没事
sin x / x 在 x=0 算不出来，但物理上什么也没发生。补一个值，公式照用。采样丢了一个点，也是这一类。
跳跃—— 系统真的在这一瞬间突变了
开关通断、换挡、碰撞、相变。函数在这里不可导，控制器过这一点会抖，需要专门处理（限幅、滤波、分段建模）。
无穷—— 模型在这里失效了
共振、除零、结构失稳。算出"无穷大"通常意味着你的模型不该用在这儿了，而不是真有无穷大的力。
振荡—— 测不了
无论采样多密，都拿不到稳定读数。这一类点必须绕开，不能指望"多测几次取平均"。
给间断点分类，其实是在回答一个工程问题：
这个坏点，是我算法的问题，还是系统真的有事？
仿真里算出了「无穷大」。这通常意味着什么？
多半意味着你的模型在这一点失效了，而不是真有一个无穷大的力。
这正是给间断点分类的价值：分清楚是算法的问题，还是系统真的有事。
第 9 幕
整节话，就一行
先看两侧在不在（分第一类 / 第二类），
再看两侧等不等（分可去 / 跳跃）。
今 天 的 任 务
八道，每道只做两件事
① 徒手画出图像 ② 走一遍第 7 幕那张树，说出它落在哪个格子。
仍然一个 ε 都不许写。
- sin x / x，看 x → 0这点算不出来，可周围一点事没有
- |x| / x，看 x → 0顺便算一下它的跳跃度
- [x]（取整），看 x → 2跳跃度是多少？每个整数点都一样吗？
- 1 / (x − 1)，看 x → 1两侧奔的方向一样吗
- sin(1/x)，看 x → 0先在纸上老实画十几个波，你才会信它真的没有去向
- e1/x，看 x → 0⚠️ 陷阱题。左边规规矩矩，右边直接炸掉。先分别算左右，再走树
- x · sin(1/x)，看 x → 0⚠️ 陷阱题。它抖得厉害，但抖归抖——两侧到底有没有去向？
- tan x，看 x → π/2两侧奔的方向不一样，仍然是同一格
第 6、7 两题是本节的分水岭。把这两题判对，才算真的会走那张树；靠图形长相套模板的人，这两题必栽。
做完之后，对着答案先不要改。
先在每道错题旁写一句：我是哪一步判错的——是左右极限算错了，还是树走错了岔路？
这两种错要吃的药完全不同。