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第 1 幕
一道你闭着眼都会做的题
求 lim(x→2) (x² + 3x)。你把 2 代进去，得 10，用了两秒。
但你刚才其实用了四条定理。点按钮一步一步拆开看：
把这几条法则拿掉，这道题你就只能回去跟 ε-δ 死磕——对着 x²+3x 找那个 δ。
这一节的价值就是让你永远不必再干那件事。
接第五页那个比喻。
第五页说：ε-δ 是验钞机，夹逼和单调有界是印钞机（能从无到有造出极限）。
这一节是第三样东西：流水线。它自己造不出任何极限——
但只要给它几个现成的零件，它就能拼出成千上万个新的。你做的绝大多数极限题，走的都是这条流水线。
第 2 幕
五条法则，其实只有三条
课本列了一串：和、差、积、商，再加复合。但差是白给的——
lim(f − g) = lim[f + (−1)·g]
用一次积法则（乘常数 −1），再用一次和法则，差法则就出来了。它不是一条独立的法则，是两条法则的组合。
这件事你见过第二回了。第十六页说过：
四条求导法则里，商法则是乘积法则的推论，真正独立的只有三条。
这里也一样——课本把推论和地基并列写在一张表上，是为了好查，不是因为它们地位相同。
看表要看出哪条是承重的。
第 3 幕
⚠️ 支点：那句被所有人跳过的前提
每条法则前面都有半句话，你多半从来没读过它：
「设 lim f = A，lim g = B 都存在，则……」
这半句话不是客套。它一旦不成立，把公式硬套下去，结论可以任意错。四个开关，各踩一次：
⚠️ 第 ② 个开关是全页最该记住的一张图。
三个式子形式完全一样，都是「∞ 减 ∞」，答案却是 1、1/2、∞。
这说明「∞ − ∞」这个写法本身不含任何信息——它不是一个数，是一句「我还不知道」。
第 ④ 个开关，和第十一页是同一件事。
第十一页说：洛必达是单向的——求导后极限不存在，推不出原极限不存在。
这里是：运算法则也是单向的——和的极限存在，推不出两个各自的极限存在。
定理写的是「若……则……」，反着读从来就不成立，除非另有证明。
有人这样算：lim(x→∞)[(x+1) − x] = lim(x+1) − lim x = ∞ − ∞ = 0。错在哪一步？（不是最后一步）
错在第一步，也就是"拆开"那一步。
差法则要求两个极限各自都存在，可 lim(x+1) 和 lim x 都是 ∞——按第三页的规矩，那叫不存在。
前提不成立，这一步根本没有资格写下来，后面对错都无所谓了。
正确做法是先化简再取极限：(x+1) − x = 1，所以极限是 1。
记住这个次序：先想办法让前提成立，再用法则。
第 4 幕
商法则那个额外条件：B ≠ 0
分母的极限一旦是 0，商法则立刻失效。而且失效得很彻底——此时答案取决于分子分母谁消失得更快：
三个都是「0 除以 0」，三条曲线奔向三个完全不同的地方
还第四页的账。
第四页整页在讲「快多少」怎么量化，当时你可能觉得那是个偏门话题。
现在它的用处出来了：0/0 型的答案，就是分子分母的阶之差。
阶不是概念游戏，它是这类题唯一的判据。
0/0 不是"等于 0"，也不是"等于 1"，它什么都不等于。
它是一个问题，不是一个答案——而这个问题的答案藏在"谁更快"里。
lim(x→1) (x²−1)/(x−1)：直接代入得 0/0。为什么不能就此宣布"极限不存在"？
因为 0/0 只说明「商法则用不了」，没说「极限不存在」。这是两件事。
这里约掉公因子：(x²−1)/(x−1) = x+1（x ≠ 1 时两者恒等），
而极限只关心 x ≠ 1 的那些点，所以极限就是 1+1 = 2。
「法则用不了」和「答案不存在」，中间隔着整个第三章——洛必达、泰勒，都是来收拾这种局面的。
第 5 幕
复合函数：不能随手"换进去"
这一步几乎人人都在做：lim f(g(x)) = f(lim g(x))——把极限符号挪到 f 里面去。
看着天经地义。可它是五条法则里条件最多的一条，而且反例简单得令人不安：
左：一个在 0 处跳一下的 f · 右：一个反复穿过 0 的 g
lim(x→0) g(x) = 0右图那条曲线确实奔向 0
f(0) = 0左图在原点那个孤零零的实心点
于是"换进去"给出：lim f(g(x)) = f(0) = 0看着没毛病
可实际上：g(x) 一会儿等于 0、一会儿不等于 0，f(g(x)) 就在 0 和 1 之间反复横跳极限根本不存在
⚠️ 问题出在 f 在那一点是断的。
f 在 u = 0 处的函数值，和它附近的取值完全脱节——
而极限只看附近，换进去这个动作却把结论押在了那一点的函数值上。
所以这条法则真正需要的是：
要么 g(x) 在 x₀ 附近不等于那个目标值，要么——f 在那一点连续。
「f 连续」这四个字，就是下一幕的全部内容。
第 6 幕
1.9：你从中学就在用的那张许可证
连续的定义（第二页给过）是：lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)。
把它反过来读一遍，味道完全不同：
f 连续 ⟺ 极限符号可以钻进 f 里面去
lim f(g(x)) = f( lim g(x) )
连续这个词，在这里第一次显出它的真实身份：它不是"图像不断"这么个描述，它是一张操作许可证——允许你把极限和函数交换次序。
再加上 1.9 的另一半：连续函数经过加减乘除、复合、取反函数，仍然连续；一切初等函数在其定义区间内都连续。于是——
你"直接代进去"的那个动作，从此有了依据
lim(x→2)(x²+3x) = 2²+3·2 = 10，凭的不是"看起来行"，
凭的是「多项式是初等函数，在 x=2 处连续」这条定理。
第 1 幕拆的那四步，1.9 一句话就全包了。
还有一个立刻能用的好处：套着的极限可以往外拿。
limx→0 ln(1+x)1/x ＝ ln[ limx→0(1+x)1/x ] ＝ ln e ＝ 1
中间那一步就是第五页那台印钞机造出来的 e。
而把 ln 提到极限号外面，靠的正是这一幕的许可证——ln 在 e 处连续。
两页的东西在这一行里咬合上了：一个负责造出 e，一个负责允许你把它拿出来。
第 5 幕那个反例里的 f，和这一幕的 ln，差别到底在哪一个字上？
差在连续两个字。
第 5 幕那个 f 在 u=0 处是可去间断点（第二页那张决策树的第一格）：它在那点的值和附近的走向对不上，
所以"钻进去"会钻到一个和邻域无关的孤立值上。
ln 在 e 处连续，函数值和附近的走向严丝合缝，钻进去钻出来都一样。
一句话：许可证的名字就叫「连续」，没这三个字就不许换。
第 7 幕
七个漏洞，和后面几章的分工
把这一节的前提逐条破坏，得到的就是七种未定式。它们不是七个知识点，是这套法则的七个失效场景：
这张表其实是一张全书导航图。
高数上册后面那些看起来五花八门的技巧——等价无穷小、洛必达、泰勒、取对数——
全都是在给这七个漏洞打补丁。
知道一道题属于哪个漏洞，就知道该翻哪一章。
lim(x→0+) x·ln x 属于哪种未定式？照表上说的，第一步该干什么？
属于 0 · ∞（x → 0，而 ln x → −∞）。
表上写着：改写成 0/0 或 ∞/∞。这里写成 ln x / (1/x)，就变成了 ∞/∞，
然后洛必达一次：(1/x) / (−1/x²) = −x → 0。
注意第一步不是"想办法算"，是"先认出它是哪一类"——认出来了，路就只剩一条。
第 8 幕
整节话，就这三行
法则永远带着前提：两个极限都存在（商还要求分母不为 0）
前提不成立时先化简，不许先拆开——七种未定式全是硬拆出来的
「连续」是一张许可证：有它才能把极限符号挪到函数里面去
最后留一句话给整个第一章：
这一章从"极限是什么"出发，到这里给出了三种得到极限的方式：
① 回定义验证（ε-δ / ε-N，慢但绝对可靠）
② 造出来（夹逼、单调有界——第五页那两台印钞机）
③ 组装（本页的运算法则＋连续性，你 90% 的时间都花在这条路上）
三条路都通，但只有第三条快。而它能快，是因为前两条已经把地基打好了。
今 天 的 任 务
八道，第 2、4、6、8 题是这一页的命门
每道题先写一行「这里用的是哪条法则、前提满不满足」，再动笔算。这一行才是今天要练的东西。
- 求 lim(x→3) (2x²−x+1)/(x+1)，并写明凭什么可以直接代入答案里要出现"初等函数在定义区间内连续"
- ⚠️ 有人算 lim(x→∞)[(x+1) − x] = ∞ − ∞ = 0。指出错在第几步，再给出正解错的不是最后一步。先把你自己的第一反应写下来
- 求 lim(x→∞)[√(x²+x) − x]先有理化，让前提成立，再用法则。答案是 1/2
- ⚠️ 举一个例子：f 和 g 各自的极限都不存在，但 f+g 的极限存在第 3 幕第 ④ 个开关。这题在训练"定理不能反着读"
- 求 lim(x→1) (x³−1)/(x²−1)0/0 型。约分。顺便说说分子分母各是几阶
- ⚠️ lim(x→0) ln(1+x)/x：写出把 ln 提到极限号外面那一步，并说明凭什么可以提提的依据是三个字。答案是 1
- 把 lim(x→0⁺) x·ln x 归类到七种未定式的哪一种，写出改写后的形式不要求算完，要求写对第一步
- ⚠️ 用你自己的话写清楚：为什么"∞ − ∞"不能等于 0答案里必须出现三个具体例子，且它们的结果互不相同
第 8 题请真的写三个例子出来。
一个人一旦亲手写下三个形式相同、答案却是 1、1/2、∞ 的式子，他这辈子都不会再把 ∞−∞ 当成 0。
只是"看懂了"的人，考场上还会写。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是前提没检查就拆开、定理反着用了、忘了 B≠0，还是纯算错？