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第 1 幕
一道你闭着眼都会做的题
求 lim(x→2) (x² + 3x)。你把 2 代进去，得 10，用了两秒。
但你刚才其实用了四条定理。点按钮一步一步拆开看：
把这几条法则拿掉，这道题你就只能回去跟 ε-δ 死磕——对着 x²+3x 找那个 δ。
这一节的价值就是让你永远不必再干那件事。
接第五页那个比喻。
第五页说：ε-δ 是验钞机，夹逼和单调有界是印钞机（能从无到有造出极限）。
这一节是第三样东西：流水线。它自己造不出任何极限——
但只要给它几个现成的零件，它就能拼出成千上万个新的。你做的绝大多数极限题，走的都是这条流水线。
第 2 幕
五条法则，其实只有三条
课本列了一串：和、差、积、商，再加复合。但差是白给的——
lim(f − g) = lim[f + (−1)·g]
用一次积法则（乘常数 −1），再用一次和法则，差法则就出来了。它不是一条独立的法则，是两条法则的组合。
这件事你见过第二回了。第十六页说过：
四条求导法则里，商法则是乘积法则的推论，真正独立的只有三条。
这里也一样——课本把推论和地基并列写在一张表上，是为了好查，不是因为它们地位相同。
看表要看出哪条是承重的。
第 3 幕
⚠️ 支点：那句被所有人跳过的前提
每条法则前面都有半句话，你多半从来没读过它：
「设 lim f = A，lim g = B 都存在，则……」
这半句话不是客套。它一旦不成立，把公式硬套下去，结论可以任意错。四个开关，各踩一次：
⚠️ 第 ② 个开关是全页最该记住的一张图。
三个式子形式完全一样，都是「∞ 减 ∞」，答案却是 1、1/2、∞。
这说明「∞ − ∞」这个写法本身不含任何信息——它不是一个数，是一句「我还不知道」。
顺手还第九页那笔账。
第九页算斜渐近线时，b = lim(f − kx) 那一步正是 ∞ − ∞ 型；
当时只让你先记住「必须先化简再取极限」，没说为什么。
为什么就在上面这三条线里：形式相同、答案却是 1、1/2、∞ —— 不化简，你连自己在算什么都不知道。
第 ④ 个开关，和第十一页是同一件事。
第十一页说：洛必达是单向的——求导后极限不存在，推不出原极限不存在。
这里是：运算法则也是单向的——和的极限存在，推不出两个各自的极限存在。
定理写的是「若……则……」，反着读从来就不成立，除非另有证明。
有人这样算：lim(x→∞)[(x+1) − x] = lim(x+1) − lim x = ∞ − ∞ = 0。错在哪一步？（不是最后一步）
错在第一步，也就是「拆开」那一步。
差法则要求两个极限各自都存在，可 lim(x+1) 和 lim x 都是 ∞——按第三页的规矩，那叫不存在。
前提不成立，这一步根本没有资格写下来，后面对错都无所谓了。
正确做法是先化简再取极限：(x+1) − x = 1，所以极限是 1。
记住这个次序：先想办法让前提成立，再用法则。
第 4 幕
商法则那个额外条件：B ≠ 0
分母的极限一旦是 0，商法则立刻失效。而且失效得很彻底——此时答案取决于分子分母谁消失得更快：
三个都是「0 除以 0」，三条曲线奔向三个完全不同的地方
还第四页的账。
第四页整页在讲「快多少」怎么量化，当时你可能觉得那是个偏门话题。
现在它的用处出来了：0/0 型的答案，就是分子分母的阶之差。
阶不是概念游戏，它是这类题唯一的判据。
0/0 不是「等于 0」，也不是「等于 1」，它什么都不等于。
它是一个问题，不是一个答案——而这个问题的答案藏在「谁更快」里。
lim(x→1) (x²−1)/(x−1)：直接代入得 0/0。为什么不能就此宣布「极限不存在」？
因为 0/0 只说明「商法则用不了」，没说「极限不存在」。这是两件事。
这里约掉公因子：(x²−1)/(x−1) = x+1（x ≠ 1 时两者恒等），
而极限只关心 x ≠ 1 的那些点，所以极限就是 1+1 = 2。
「法则用不了」和「答案不存在」，中间隔着整个第三章——洛必达、泰勒，都是来收拾这种局面的。
第 5 幕
复合函数：不能随手「换进去」
这一步几乎人人都在做：lim f(g(x)) = f(lim g(x))——把极限符号挪到 f 里面去。
看着天经地义。可它是五条法则里条件最多的一条，而且反例简单得令人不安：
左：一个在 0 处跳一下的 f · 右：一个反复穿过 0 的 g
lim(x→0) g(x) = 0右图那条曲线确实奔向 0
f(0) = 0左图在原点那个孤零零的实心点
于是「换进去」给出：lim f(g(x)) = f(0) = 0看着没毛病
可实际上：g(x) 一会儿等于 0、一会儿不等于 0，f(g(x)) 就在 0 和 1 之间反复横跳极限根本不存在
⚠️ 问题出在 f 在那一点是断的。
f 在 u = 0 处的函数值，和它附近的取值完全脱节——
而极限只看附近，换进去这个动作却把结论押在了那一点的函数值上。
所以这条法则真正需要的是：
要么 g(x) 在 x₀ 附近不等于那个目标值，要么——f 在那一点连续。
「f 连续」这四个字，就是下一幕的全部内容。
第 6 幕
1.9：你从中学就在用的那张许可证
连续的定义（第二页给过）是：lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)。
把它反过来读一遍，味道完全不同：
f 连续 ⟺ 极限符号可以钻进 f 里面去
lim f(g(x)) = f( lim g(x) )
连续这个词，在这里第一次显出它的真实身份：它不是「图像不断」这么个描述，它是一张操作许可证——允许你把极限和函数交换次序。
再加上 1.9 的另一半：连续函数经过加减乘除、复合、取反函数，仍然连续；一切初等函数在其定义区间内都连续。于是——
你「直接代进去」的那个动作，从此有了依据
lim(x→2)(x²+3x) = 2²+3·2 = 10，凭的不是「看起来行」，
凭的是「多项式是初等函数，在 x=2 处连续」这条定理。
第 1 幕拆的那四步，1.9 一句话就全包了。
还有一个立刻能用的好处：套着的极限可以往外拿。
limx→0 ln(1+x)1/x ＝ ln[ limx→0(1+x)1/x ] ＝ ln e ＝ 1
中间那一步就是第五页那台印钞机造出来的 e。
而把 ln 提到极限号外面，靠的正是这一幕的许可证——ln 在 e 处连续。
两页的东西在这一行里咬合上了：一个负责造出 e，一个负责允许你把它拿出来。
第 5 幕那个反例里的 f，和这一幕的 ln，差别到底在哪一个字上？
差在连续两个字。
第 5 幕那个 f 在 u=0 处是可去间断点（第二页那张决策树的第一格）：它在那点的值和附近的走向对不上，
所以「钻进去」会钻到一个和邻域无关的孤立值上。
ln 在 e 处连续，函数值和附近的走向严丝合缝，钻进去钻出来都一样。
一句话：许可证的名字就叫「连续」，没这三个字就不许换。
第 7 幕
七个漏洞，和后面几章的分工
把这一节的前提逐条破坏，得到的就是七种未定式。它们不是七个知识点，是这套法则的七个失效场景：
这张表其实是一张全书导航图。
高数上册后面那些看起来五花八门的技巧——等价无穷小、洛必达、泰勒、取对数——
全都是在给这七个漏洞打补丁。
知道一道题属于哪个漏洞，就知道该翻哪一章。
lim(x→0+) x·ln x 属于哪种未定式？照表上说的，第一步该干什么？
属于 0 · ∞（x → 0，而 ln x → −∞）。
表上写着：改写成 0/0 或 ∞/∞。这里写成 ln x / (1/x)，就变成了 ∞/∞，
然后洛必达一次：(1/x) / (−1/x²) = −x → 0。
注意第一步不是「想办法算」，是「先认出它是哪一类」——认出来了，路就只剩一条。
第 8 幕
整节话，就这三行
法则永远带着前提：两个极限都存在（商还要求分母不为 0）
前提不成立时先化简，不许先拆开——七种未定式全是硬拆出来的
「连续」是一张许可证：有它才能把极限符号挪到函数里面去
最后留一句话给整个第一章：
这一章从「极限是什么」出发，到这里给出了三种得到极限的方式：
① 回定义验证（ε-δ / ε-N，慢但绝对可靠）
② 造出来（夹逼、单调有界——第五页那两台印钞机）
③ 组装（本页的运算法则＋连续性，你 90% 的时间都花在这条路上）
三条路都通，但只有第三条快。而它能快，是因为前两条已经把地基打好了。
今 天 的 任 务
八道，第 2、4、6、8 题是这一页的命门
每道题先写一行「这里用的是哪条法则、前提满不满足」，再动笔算。这一行才是今天要练的东西。
- 求 lim(x→3) (2x²−x+1)/(x+1)，并写明凭什么可以直接代入答案里要出现「初等函数在定义区间内连续」
- ⚠️ 有人算 lim(x→∞)[(x+1) − x] = ∞ − ∞ = 0。指出错在第几步，再给出正解错的不是最后一步。先把你自己的第一反应写下来
- 求 lim(x→∞)[√(x²+x) − x]先有理化，让前提成立，再用法则。答案是 1/2
- ⚠️ 举一个例子：f 和 g 各自的极限都不存在，但 f+g 的极限存在第 3 幕第 ④ 个开关。这题在训练「定理不能反着读」
- 求 lim(x→1) (x³−1)/(x²−1)0/0 型。约分。顺便说说分子分母各是几阶
- ⚠️ lim(x→0) ln(1+x)/x：写出把 ln 提到极限号外面那一步，并说明凭什么可以提提的依据是三个字。答案是 1
- 把 lim(x→0⁺) x·ln x 归类到七种未定式的哪一种，写出改写后的形式不要求算完，要求写对第一步
- ⚠️ 用你自己的话写清楚：为什么"∞ − ∞"不能等于 0答案里必须出现三个具体例子，且它们的结果互不相同
第 8 题请真的写三个例子出来。
一个人一旦亲手写下三个形式相同、答案却是 1、1/2、∞ 的式子，他这辈子都不会再把 ∞−∞ 当成 0。
只是「看懂了」的人，考场上还会写。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是前提没检查就拆开、定理反着用了、忘了 B≠0，还是纯算错？
课 本 习 题 · 1 - 5
同济第八版 P45 的七道原题，逐题给解
这一页并了课本 1.5 和 1.9 两节，所以两套习题都挂在这里：先是 1-5（本节），往下还有 1-9。
先在纸上做完，再点开对答案。第 7 题课本标了 ＊。
⚠️ 第 1 题十五个小问，全部只考一件事：那条法则的前提成不成立。
能直接代入就代入；代入后出现 0/0、∞/∞、∞−∞，
说明前提坏了，必须先改造式子（约分、有理化、通分、上下同除最高次幂）。
第 1 题计算下列极限（十四小问）：
(1) limx→2 (x²+5)/(x−3) (2) limx→√3 (x²−3)/(x²+1) (3) limx→1 (x²−2x+1)/(x²−1)
(4) limx→0 (4x³−2x²+x)/(3x²+2x) (5) limh→0 ((x+h)²−x²)/h (6) limx→∞ (2 − 1/x + 1/x²)
(7) limx→∞ (x²−1)/(2x²−x−1) (8) limx→∞ (x²+x)/(x⁴−3x²+1) (9) limx→4 (x²−6x+8)/(x²−5x+4)
(10) limx→∞ (1+1/x)(2−1/x²) (11) limn→∞ (1+½+¼+…+1/2ⁿ) (12) limn→∞ [1+2+…+(n−1)]/n²
(13) limn→∞ (n+1)(n+2)(n+3)/(5n³) (14) limx→1 [1/(1−x) − 3/(1−x³)]
⚠️ 关于编号：课本这一题共 14 个小问，一个不缺。
（我们的解析稿把几个公式块的先后顺序打乱了，初版曾按出现顺序编号、并误以为「缺了 (9)」；
现已对照课本答案区逐一校正，上面的编号与课本一致。）
能直接代入的（分母不为零）：
(1) = (4+5)/(2−3) = 9/(−1) = −9
(2) = (3−3)/(3+1) = 0/4 = 0
⚠️ (2) 常被误当成 0/0。分子确实趋于 0，可分母趋于 4 而不是 0——这是「0 除以非零」，答案就是 0，没有任何未定式。
0/0 型：先约分
(3) = (x−1)²/[(x−1)(x+1)] = (x−1)/(x+1) → 0/2 = 0
(4) = x(4x²−2x+1)/[x(3x+2)] = (4x²−2x+1)/(3x+2) → 1/2
(9) = (x−2)(x−4)/[(x−1)(x−4)] = (x−2)/(x−1) → 2/3
(5) = (2xh+h²)/h = 2x + h → 2x
⚠️ (5) 里跑的是 h，x 是常数——看错谁在动，答案就全错。
顺带说：这道题算的正是 x² 的导数，第七页会告诉你它为什么长这样。
∞/∞ 型：上下同除最高次幂
(7) 上下同除 x²：(1 − 1/x²)/(2 − 1/x − 1/x²) → 1/2
(8) 上下同除 x⁴：(1/x² + 1/x³)/(1 − 3/x² + 1/x⁴) → 0/1 = 0
(13) 展开后最高次是 n³：→ 1/5
⚠️ 这三问给出一条速记规则：分子分母都是多项式、x → ∞ 时，
次数相同 → 首项系数之比（如 (7) 得 1/2、(13) 得 1/5）；分母次数高 → 0（如 (8)）；分子次数高 → ∞。
可以直接拆的（每一项极限都存在）
(6) 1/x 与 1/x² 都是 x→∞ 时的无穷小 ⇒ → 2
(10) 两个因子的极限分别是 1 与 2，积法则 ⇒ → 2
先求和，再取极限
(11) 等比数列求和：1+½+…+1/2ⁿ = 2 − 1/2ⁿ → 2
(12) 等差数列求和：[1+2+…+(n−1)]/n² = n(n−1)/2 ÷ n² = (1 − 1/n)/2 → 1/2
⚠️ (11)(12) 都是「项数随 n 变的和」，绝不能逐项取极限。
逐项取极限会得到「无穷多个 0 相加」这种没有意义的东西。先用公式把和求出来，变成一个式子，再取极限。
∞−∞ 型：先通分
(14) 注意 1−x³ = (1−x)(1+x+x²)，通分：
= [(1+x+x²) − 3] / [(1−x)(1+x+x²)] = (x²+x−2)/[(1−x)(1+x+x²)]
= (x+2)(x−1)/[−(x−1)(1+x+x²)] = −(x+2)/(1+x+x²) → −3/3 = −1
(1) −9 (2) 0 (3) 0 (4) 1/2 (5) 2x (6) 2 (7) 1/2
(8) 0 (9) 2/3 (10) 2 (11) 2 (12) 1/2 (13) 1/5 (14) −1
（与课本答案逐条一致）
⚠️ (14) 是第 3 幕那条铁律的标准考法：两项各自都趋于 ∞，拆开就废。
必须先通分变成一个分式，让前提重新成立，才有资格用法则。
第 2 题计算：(1) limx→2 (x³+2x²)/(x−2)² (2) limx→∞ x²/(2x+1) (3) limx→∞ (2x³−x+1)
这三问的答案都是「极限不存在」，但要说清楚是哪一种不存在。
(1) 分子 → 8+8 = 16 ≠ 0，分母 (x−2)² → 0+（平方，恒为正）
⇒ → +∞。极限不存在，且是正无穷。
(2) 上下同除 x：x/(2 + 1/x) → ∞（分子次数高于分母）
(3) 多项式最高次项说了算：2x³ → ∞
三问都不存在；(1) 是 +∞，(2)(3) 是 ∞。
⚠️ (1) 里那个平方很要紧。若分母是 (x−2) 而非 (x−2)²，
左右两侧一个 −∞、一个 +∞，就只能写 ∞ 而不能写 +∞。
⚠️ 另外记住：写 → ∞ 只是描述趋势，按定义这个极限并不存在。
第 3 题计算：(1) limx→0 x² sin(1/x) (2) limx→∞ arctan x / x
两问都是同一条性质：有界量 × 无穷小 = 无穷小。
(1) |sin(1/x)| ≤ 1（有界），x² 是 x→0 时的无穷小
⇒ 乘积 → 0。
(2) |arctan x| < π/2（有界），1/x 是 x→∞ 时的无穷小
⇒ 乘积 → 0。
两问都是 0。
⚠️ 关键在于「不需要那个有界因子有极限」。
sin(1/x) 在 x→0 时根本没有极限（横跳），
arctan x 在 x→∞ 时倒是有极限，但那不影响结论——
压住它的是另一个因子，不是它自己。所以这条性质不能写成「两个极限相乘」，
它是一条独立的性质。
第 4 题设 {an}, {bn}, {cn} 均为非负数列，lim an = 0，lim bn = 1，lim cn = ∞。判断对错：
(1) an < bn 对一切 n (2) bn < cn 对一切 n (3) lim ancn 不存在 (4) lim bncn 不存在
(1) 错。极限只管「从某项起」，管不了前面几项。
反例：an = 1/n（→0），bn = 1 − 1/n（→1，非负）。
n = 1 时 a₁ = 1 > b₁ = 0，不等式不成立。
(2) 错。同样的道理，反例：bn = 1 + 1/n，cn = n/2。
n = 1 时 b₁ = 2 > c₁ = 0.5。
(3) 错。0 · ∞ 是未定式，什么结果都可能。
反例（极限存在）：an = 1/n，cn = n ⇒ ancn = 1 → 1，存在。
(4) 对。bn → 1 ≠ 0，从某项起 bn > 1/2；
于是 bncn > cn/2 → ∞，按定义极限不存在。
(1) 错 (2) 错 (3) 错 (4) 对
⚠️ (1)(2) 考的是同一件事：极限是「尾巴」的性质，前面有限多项爱怎样怎样。
⚠️ (3)(4) 的差别才是重点：0 · ∞ 是未定式（说不准），
而 1 · ∞ 不是未定式（一定跑掉）。非零常数乘无穷大，结果必是无穷大。
第 5 题判断对错并举反例：
(1) lim f 存在、lim g 不存在 ⇒ lim (f+g) 不存在
(2) lim f、lim g 都不存在 ⇒ lim (f+g) 不存在
(3) lim f 存在、lim g 不存在 ⇒ lim (f·g) 不存在
(4) lim f、lim g 都不存在 ⇒ lim (f·g) 不存在
(1) 对。用反证法：假如 lim(f+g) 存在，则由差法则
g = (f+g) − f 的极限也存在（两个都存在，相减合法），与 lim g 不存在矛盾。
(2) 错。反例（x → 0）：f = 1/x，g = −1/x，两者极限都不存在，
但 f + g ≡ 0，极限存在且等于 0。
(3) 错。反例（x → 0）：f = x（极限 0，存在），g = sin(1/x)（不存在），
但 f·g = x sin(1/x) → 0，存在。
(4) 错。反例（x → 0）：f = g = sgn x，两者极限都不存在，
但 f·g = (sgn x)² ≡ 1（x ≠ 0），极限存在且等于 1。
只有 (1) 对，其余三条都能被一个反例推翻。
⚠️ 为什么偏偏 (1) 成立？因为它能反解：加法有逆运算（减法），
所以「存在 + 不存在 = 存在」会导出矛盾。
⚠️ (3) 为什么不行？因为乘法的逆运算（除法）要求除数不为零，
而 (3) 的反例里 lim f = 0 —— 恰恰卡在那个前提上。
这四条合起来就是第 3 幕的主题：定理是单向的，反着读要另行验证。
第 6 题设收敛数列 {xn}、{yn} 从某项起满足 xn ≥ yn，且 lim xn = A，lim yn = B。证明 A ≥ B。
反证法。假设 A < B，取 ε = (B − A)/2 > 0。
由 lim xn = A，存在 N₁，使 n > N₁ 时 xn < A + ε = (A+B)/2；
由 lim yn = B，存在 N₂，使 n > N₂ 时 yn > B − ε = (A+B)/2。
取 n 大于 N₁、N₂ 和题设那个下标，则同时有
xn < (A+B)/2 < yn，即 xn < yn —— 与 xn ≥ yn 矛盾。
故 A ≥ B。
取 ε 为两个极限间距的一半，把两条带子分开，矛盾立现。
⚠️ 结论只能是 ≥，不能加强成 >。反例：xn = 1/n > yn = 0（严格大于），
可两者极限都是 0，只有 A = B。
取极限会把「严格不等」磨成「不等」——这是极限最常见的一种「损失」。
＊第 7 题证明本节定理 3 中的 (2)（即极限的积法则：lim(fg) = A·B）。
要点是那个「加一项减一项」的凑法。设 lim f = A，lim g = B。
① 拆开差值：
|fg − AB| = |fg − Ag + Ag − AB| ≤ |g||f − A| + |A||g − B|
② 把 |g| 框住：由 lim g = B，g 在该过程下局部有界，即存在 M > 0 使 |g| ≤ M。
③ 逐项压小：任给 ε > 0，
让 |f − A| < ε / (2M)，让 |g − B| < ε / (2(|A|+1))，
则 |fg − AB| < M · ε/(2M) + |A| · ε/(2(|A|+1)) < ε/2 + ε/2 = ε。
三步：凑项拆开 → 把一个因子框住 → 各压一半 ε。
⚠️ 第 ② 步的「局部有界」不能省。如果不先把 |g| 框在 M 以内，
|g||f−A| 这一项压不住——|f−A| 再小，乘上一个可以任意大的东西也没用。
⚠️ 分母写 |A|+1 而不是 |A|，是为了防止 A = 0 时除以零。这个小动作在教材里到处都是。
七道做完，把第 1 题那十四问按「用了哪条法则」重新分一次组：
直接代入 / 约分 / 上下同除 / 先求和 / 先通分——五种手法，覆盖整章的计算题。
而每一种手法要干的事情都一样：让那条法则的前提重新成立。
课 本 习 题 · 1 - 9
同济第八版 P66 的六道原题，逐题给解
这一页并了课本 1.5 和 1.9 两节，所以习题 1-9 挂在这里（1.9 的内容就是第 6 幕那张许可证）。
第 3、4 题各有八到十个小问，是整章计算量最大的一组——先在纸上做完，再点开对答案。
⚠️ 做之前先立规矩：第 3 题几乎全靠「初等函数在定义区间内连续 ⟹ 直接代入」（第 6 幕）；
第 4 题几乎全是 1∞ 与 0/0，得先翻译成能用法则的形式。
每写一步，问自己一句：我用的那条法则，前提成立吗？
第 1 题求 f(x) = (x³+3x²−x−3)/(x²+x−6) 的连续区间，并求 limx→0 f、limx→−3 f、limx→2 f。
① 先分解，别急着代入。
分子：x³+3x²−x−3 = x²(x+3) − (x+3) = (x+3)(x²−1) = (x+3)(x−1)(x+1)
分母：x²+x−6 = (x+3)(x−2)
② 连续区间看的是「原来的定义域」，不是约分之后的：
分母为零的点是 x = −3 与 x = 2，两点都不在定义域内。
有理函数在定义区间内连续（第 6 幕），所以连续区间是
(−∞, −3) ∪ (−3, 2) ∪ (2, +∞)
③ 约分后再算极限：f(x) = (x−1)(x+1)/(x−2)（x ≠ −3, 2）
limx→0 f = (−1)(1)/(−2) = 1/2
limx→−3 f = (−4)(−2)/(−5) = −8/5
limx→2：分母 → 0 而分子 → 3 ≠ 0 → 极限不存在（x→2⁺ 时 →+∞，x→2⁻ 时 →−∞）
连续区间 (−∞,−3) ∪ (−3,2) ∪ (2,+∞)；
1/2、−8/5、不存在。
⚠️ x = −3 和 x = 2 都不连续，但性质完全不同：
x = −3 处极限存在（−8/5）→ 可去；x = 2 处 → ∞ → 第二类。
「连续区间」问的是定义域，别拿约分后的式子去答——约分只是算极限的手段，不会把点补回定义域。
第 2 题设 f, g 在 x₀ 连续，证明 φ = max{f, g} 与 ψ = min{f, g} 在 x₀ 也连续。
诀窍只有一个：把 max、min 写成四则运算和绝对值。
φ = (f + g + |f − g|) / 2 ψ = (f + g − |f − g|) / 2
先验这两个恒等式（分两种情形代一下就行）：
若 f ≥ g：|f−g| = f−g，右边 = (f+g+f−g)/2 = f = max ✓
若 f < g：|f−g| = g−f，右边 = (f+g+g−f)/2 = g = max ✓
再套连续性的封闭性：f − g 连续（差）；|·| 连续，复合后 |f−g| 连续；
再做和、再除以常数 2 —— 每一步都不破坏连续。故 φ, ψ 在 x₀ 连续。
把 max/min 翻译成 (和 ± 差的绝对值)/2，剩下的交给连续函数的四则运算与复合。
⚠️ 这道题的方法比结论值钱：遇到「取大取小」这类看着不像运算的东西，
先想办法写成已知的运算——这和第 7 幕那张表的思路一样，都是把新问题翻译回旧问题。
第 3 题求下列极限（八小问）：
(1) limx→0 √(x²−2x+5) (2) limα→π/4 (sin 2α)³ (3) limx→π/6 ln(2cos 2x)
(4) limx→0 (√(x+1)−1)/x (5) limx→1 (√(5x−4)−√x)/(x−1) (6) limx→α (sin x − sin α)/(x − α)
(7) limx→+∞ (√(x²+x) − √(x²−x)) (8) limx→0 [(1−½x²)2/3 − 1] / [x ln(1+x)]
(1)(2)(3) 是同一类：初等函数在定义点连续，直接代入（第 6 幕那张许可证）。
(1) = √(0−0+5) = √5
(2) = (sin(π/2))³ = 1³ = 1
(3) = ln(2·cos(π/3)) = ln(2·½) = ln 1 = 0
⚠️ 代入之前先确认该点在定义区间内。比如 (3) 若代出 ln(负数) 就说明代错了点，
许可证只在定义区间内有效。
(4)–(7) 都是 0/0 或 ∞−∞，得先化简（第 3 幕那条铁律：前提不成立就先改造式子）。
(4) 分子有理化：(√(x+1)−1)(√(x+1)+1) = x
原式 = limx→0 x / [x(√(x+1)+1)] = 1/(1+1) = 1/2
(5) 同样有理化：(5x−4) − x = 4x − 4 = 4(x−1)
原式 = limx→1 4(x−1) / [(x−1)(√(5x−4)+√x)] = 4/(1+1) = 2
(6) 用和差化积：sin x − sin α = 2 cos((x+α)/2) · sin((x−α)/2)
原式 = limx→α cos((x+α)/2) · [sin((x−α)/2) / ((x−α)/2)] = cos α · 1 = cos α
(7) ∞ − ∞，先有理化（第 3 幕第 ② 态就是这个式子）：
= lim (x²+x − x²+x) / (√(x²+x)+√(x²−x)) = lim 2x / (√(x²+x)+√(x²−x))
上下同除 x（x → +∞ 时 x > 0）：= 2 / (√(1+1/x)+√(1−1/x)) → 2/2 = 1
(8) 分子 (1+u)α − 1 ~ αu，取 u = −x²/2, α = 2/3：~ (2/3)(−x²/2) = −x²/3
分母 x ln(1+x) ~ x·x = x²
原式 = −1/3
(1) √5 (2) 1 (3) 0 (4) 1/2 (5) 2 (6) cos α (7) 1 (8) −1/3
⚠️ (7) 里「上下同除 x」那一步藏着一个前提：因为 x → +∞ 所以 √x² = x。
若改成 x → −∞，就得写 √x² = −x，答案变成 −1。这正是「必须说清在哪个过程里」的又一个例子。
第 4 题求下列极限（十小问）：
(1) limx→∞ e1/x (2) limx→0 ln(sin x / x) (3) limx→∞ (1+1/x)x/2 (4) limx→0 (1+3tan²x)cot²x
(5) limx→∞ ((3+x)/(6+x))(x−1)/2 (6) limx→0 (√(1+tan x) − √(1+sin x)) / (x√(1+sin²x) − x)
(7) limx→e (ln x − 1)/(x − e) (8) limx→0 (e3x−e2x−ex+1)/(∛((1−x)(1+x))−1)
(9) limx→∞ x(e1/(2x)−1) (10) limx→1 [(x²−1)/(x−1)] · e1/(x−1)
(1)(2) 是「许可证」的直接用法：极限符号可以钻进连续函数里去（第 6 幕）。
(1) 1/x → 0，eu 连续 → = e0 = 1
(2) sin x / x → 1，ln u 在 u=1 连续 → = ln 1 = 0
⚠️ 这一步凭的不是「代进去」，是 ln 在那一点连续。第 5 幕那个横跳的反例说明：
函数一旦在该点断开，这一步立刻非法。
(3)(4)(5) 都是 1∞，一律往 e 的定义上凑。
(3) = [(1+1/x)x]1/2 → e1/2 = √e
(4) 令 u = 3tan²x → 0，cot²x = 3/u：
原式 = [(1+u)1/u]3 → e³
(5) 先把底数写成 1 + 小量：(3+x)/(6+x) = 1 − 3/(6+x)
= [(1 − 3/(6+x))−(6+x)/3]−3(x−1)/(2(6+x))，指数 → −3/2
原式 = e−3/2
⚠️ 1∞ 是未定式，不能直接说「1 的任何次方都是 1」。
(3)(4)(5) 三个的底数都趋于 1、指数都趋于 ∞，答案却分别是 √e、e³、e−3/2 ——
三个都不一样，这就是它为什么叫未定式（第 7 幕那张表的第 4 行）。
(6)–(9) 是 0/0，靠等价无穷小与化简。
(6) 分子有理化：(tan x − sin x)/(√(1+tan x)+√(1+sin x)) ~ (x³/2)/2 = x³/4
分母：x(√(1+sin²x) − 1) ~ x·(sin²x/2) ~ x³/2
原式 = (x³/4)/(x³/2) = 1/2
(7) 令 x = e + t（t → 0）：
ln x − 1 = ln(e+t) − ln e = ln(1 + t/e) ~ t/e
原式 = limt→0 (t/e)/t = 1/e
(8) 分子先分组：e3x−e2x−ex+1 = e2x(ex−1) − (ex−1) = (ex−1)(e2x−1) ~ x·2x = 2x²
分母：∛(1−x²) − 1 ~ (1/3)(−x²) = −x²/3
原式 = 2x² / (−x²/3) = −6
(9) 令 u = 1/(2x) → 0，x = 1/(2u)：
原式 = limu→0 (eu−1)/(2u) = 1/2
⚠️ (8) 的分子必须先分组成乘积再换。若直接把三个指数各自替换成 1+3x、1+2x、1+x，
分子变成 1+3x−1−2x−1−x+1 = 0 —— 又是「加减里换等价无穷小」那个坑。
(10) 是这十道里唯一一个「不存在」，也是唯一必须分左右的。
(x²−1)/(x−1) = x+1 → 2，麻烦全在 e1/(x−1) 上：
x → 1⁺：1/(x−1) → +∞ ⟹ e… → +∞ ⟹ 原式 → +∞
x → 1⁻：1/(x−1) → −∞ ⟹ e… → 0 ⟹ 原式 → 2 × 0 = 0
左右不一致 ⟹ 极限不存在。
(1) 1 (2) 0 (3) √e (4) e³ (5) e−3/2 (6) 1/2
(7) 1/e (8) −6 (9) 1/2 (10) 不存在（左 0、右 +∞）
⚠️ (10) 是给「不假思索算一个数」的人准备的。
e1/(x−1) 在 x=1 两侧的行为完全相反，
这正是第一页那条判据的用武之地：两侧都算一遍，不等就是不存在。
第 5 题设 f 在 R 上连续且 f(x) ≠ 0，φ 在 R 上有定义且有间断点。判断对错（错的举反例）：
(1) φ[f(x)] 必有间断点 (2) [φ(x)]² 必有间断点
(3) f[φ(x)] 未必有间断点 (4) φ(x)/f(x) 必有间断点
(1) 错。反例：取 f(x) ≡ 1（连续且不为零，合条件），φ 任取一个有间断点的函数。
则 φ[f(x)] = φ(1) 是常数，处处连续。
(2) 错。反例：φ(x) = 1（x ≥ 0），−1（x < 0），它在 0 处跳跃；
但 [φ(x)]² ≡ 1，处处连续。平方把符号抹掉了。
(3) 对。「未必」只要举出一个不出间断点的例子即可：
取 f(x) ≡ 1，则 f[φ(x)] ≡ 1 处处连续。
(4) 对。用反证法：设 x₀ 是 φ 的间断点，假如 φ/f 在 x₀ 连续，
因为 f 在 x₀ 连续，由乘积的连续性，(φ/f)·f = φ 也应在 x₀ 连续 —— 与假设矛盾。
所以 φ/f 在 x₀ 必不连续。
(1) 错 (2) 错 (3) 对 (4) 对
⚠️ (4) 那一步用到了「f(x) ≠ 0」这个条件——否则 φ/f 根本没定义，谈不上连不连续。
题目给的每个条件都在某一小问里被用到，这是判断自己有没有真做对的一个好办法：
如果某个条件你一次都没用上，多半是漏了什么。
第 6 题设 f(x) = ex（x < 0），a + x（x ≥ 0）。a 取何值时 f 在 (−∞, +∞) 内连续？
两段各自都是初等函数，本来就连续，问题只在接口 x = 0。按三条查：
① 有定义：f(0) = a + 0 = a ✓
② 极限存在：左极限 limx→0⁻ ex = e0 = 1；右极限 limx→0⁺ (a+x) = a
要极限存在，必须 1 = a
③ 等于函数值：此时极限 = 1 = f(0) = a ✓
答：a = 1。
⚠️ 这类题的标准答法是「左极限 ＝ 右极限 ＝ 函数值」三个数并排列出来，
而不是只写一个方程。
本题里 f(0) 恰好落在右侧那一段上，所以 ② 一成立 ③ 自动成立；
但如果分段点的函数值是单独规定的（比如再写一行 f(0) = 5），②③ 就要分别检查——那时 a 可能无解。
六道做完，最该留下的是两条：
第 3 题告诉你「直接代入」什么时候合法——初等函数 ＋ 在定义区间内，两个条件缺一不可；
第 4(10) 题告诉你什么时候必须分左右——只要式子里有 e1/(x−x₀) 这类东西，先分两侧再说。
整章的计算题，八成落在这两条上。