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第 1 幕
一份迟到了二十七页的定义
第一页就说过：函数是一台机器——扔一个 x 进去，出来一个 y。
这个说法你用了二十七页，从没觉得有问题。可课本第一节把它写得很死，死在三样东西上：
定义域 D · 对应法则 f · 一个 x 只对一个 y
当时读它像读一份没人看的用户协议。现在回头，这份协议的每一条你都撞过一次：
- 「一个 x 只能对一个 y」 → 第十九页：一个圆非得拆成上下两半才能求导
撕开它的不是几何，是这条规矩
- 「先有定义域」 → 第二页 e1/x、第二十页 ∫₀¹dx/x
1/x 在 0 处不是「值很大」，是压根没有值——两处的坑都在这儿
- 「单调」 → 第五页单调有界准则、第十五页第二类换元要求 φ 单调
不单调就换不回去
- 「奇偶」 → 第五页收网那一步：靠偶函数把右极限搬成左极限
第一页那条「左右极限相等」的判据，第一次真正派上用场就在那里
- 「周期」 → 第二十七页：sin 求四次导回到原地
(sin x)⁽¹⁰⁰⁾ 只要看余数
- 「反函数」 → 第十六页：沿 y = x 翻折，斜率取倒数
这一页第 4 幕会补上「凭什么能翻」
- 「复合」 → 第十六页链式法则、第十五页凑微分
由外到内逐层求导，形状就是复合的层次
- 「初等函数」 → 第十八页那张许可证：初等函数在定义区间内连续
你从中学起就在用的「直接代入」，凭据在这一节
1.1 不是热身，是这本书的施工规范。
规范写在最前面，可它只有在你亲手把墙砌歪过之后才读得懂。
所以这一页不教新东西。它只做一件事：把二十七页里被绊倒的地方，一一指回它的出处。
第 2 幕
那条最狠的规矩：一个 x 只能对一个 y
这条看起来最像废话。试着违反它一次，你会看到整本书当场作废。
左：合法的机器，每个 x 上方只有一个点。右：允许一对多，f(2) 就不是一个数了
假设 f(2) 同时等于 3 和 5。那么：
后面二十七页的每一个概念，都建立在「f(x) 是一个确定的数」之上。
这条规矩不是数学家的洁癖，它是承重墙。抽掉它，上面全部垮。
第十九页那个圆，现在能给出完整解释了。
x² + y² = 25 上，x = 3 对应 y = 4 和 y = −4 两个值——它不是函数。
所以要么拆成上下两半（各自是函数），要么用隐函数求导。
而隐函数求导凭什么能不拆？因为它只要求在你关心的那一点附近能一对一（局部就够了）。
而 (5, 0) 处连局部都做不到——那里上下两半黏在一起，所以 y′ = −x/y 在那点交白卷。
那个「交白卷」，根源就在这条规矩上。
y² = x（开口朝右的抛物线）是函数吗？那 y = √x 呢？两者的图像差在哪？
y² = x 不是函数——x=4 时 y 可以是 2 或 −2。
y = √x 是函数，图像只有上面那一半。
⚠️ 关键在于：根号符号本身就自带「只取非负那个」的约定。
所以 √(x²) = |x| 而不是 x——这个高频失分点的根，也在这条规矩上：
如果 √ 允许返回两个值，它就不是一台合法的机器了。
第 3 幕
⚠️ 支点：课本那四条特性，用一个 1/x 就能全部戳穿
1.1 后半段讲函数的四条特性：有界、单调、奇偶、周期。四条都长得像常识，四条都有坑。
前三个坑，共用同一个反例。四个开关点一遍：
前三个坑的病根是同一个：1/x 的定义域中间有个洞。
有界要问「在哪一段上」；单调不能跨过洞去比；奇函数的对称中心那一点可以压根不存在。
课本把「定义域」写在「对应法则」前面，不是排版顺序，是优先级。
先问「在哪儿有定义」，再问「怎么算」。
第二十页那道最经典的错题，今天才算真正说透。
∫₋₁¹ dx/x² 硬套牛顿–莱布尼茨，算出 −2：正函数积出负数。
当时的说法是「牛－莱要求全段连续」。现在可以说得更根本：那根本不是「一段」。
[−1, 1] 被 0 切成了两截，你在两截东西上用了一个只对一截成立的公式。
和第 ② 个开关里那个「单调」是同一个错：把断开的定义域当成了连通的。
「1/x 在它的定义域上是单调减函数」——这句话对不对？如果不对，请给出一组具体的 x₁ < x₂ 作为反例。
不对。反例：取 x₁ = −1, x₂ = 1。
x₁ < x₂，可是 f(x₁) = −1 < f(x₂) = 1——x 变大，y 也变大，它涨了。
正确的说法必须带上区间：1/x 在 (−∞, 0) 上单调减，在 (0, +∞) 上也单调减，但在整个定义域上不单调。
⚠️ 这就是「单调」这个词为什么必须挂在一个区间上。
你在第九页用 f′ < 0 判递减时，判出来的永远只是某一个区间上的结论——
因为那条许可证来自拉格朗日中值定理，而它要求区间是连通的。
第 4 幕
反函数：那条规矩反过来读一遍
反函数要干的事是「给我 y，反推 x」。那它就得满足同一条规矩——一个 y 只能对一个 x。
怎么检查？画一条水平线扫过去，数交点。只要有一条水平线切中两个点，反函数就不存在。
水平线 y =
于是 arcsin 的定义域和值域不是背的，是被这条规矩逼出来的。
sin 在整个 R 上一条水平线能切无穷多次，没得反；
想要反函数，必须先把它切成一段单调的——课本挑了 [−π/2, π/2]，
于是 arcsin 的值域就是这一段。
「严格单调 ⟹ 反函数存在」这句话，说的就是「水平线最多切一次」。
第十六页那面镜子，现在有了地基。
那一页说：反函数的图像沿 y = x 翻折，对应点的斜率取倒数（k ↔ 1/k）。
第 ②④ 两个开关里那条绿虚线就是翻折出来的。当时是「怎么翻」，今天是「凭什么能翻」。
⚠️ 顺带解释一件小事：翻折要求横竖比例一样，否则镜像会歪——所以这两张图是等比例画的，
而 ①③ 两张为了看清波形是压扁的，那两张就没画翻折。
arcsin 的值域为什么定在 [−π/2, π/2]？改成 [π/2, 3π/2] 行不行？
行——数学上完全成立。sin 在 [π/2, 3π/2] 上严格单调（递减），一样能反。
课本选 [−π/2, π/2] 只有两个理由：它包含 0（arcsin 0 = 0，好用），而且它是递增的（和 sin 在原点附近的样子一致）。
这是一次约定，不是一条定理。
⚠️ 但约定一旦定下就不能乱：arcsin(sin 2) ≠ 2，因为 2 不在 [−π/2, π/2] 里
（真值是 π − 2 ≈ 1.1416）。这道题在考卷上很常见，错的人都是忘了值域这个约定。
第 5 幕
复合：机器可以串联，但接口要对得上
f(g(x)) 就是把两台机器串起来：x 先进 g，g 的输出再进 f。
要串得起来，g 吐出来的东西必须是 f 吃得下的——也就是 g 的值域要落在 f 的定义域里。
⚠️ 第三行是这一幕的命门。
g(f(x)) = 1 − x 看起来清清白白，定义域该是全体实数。但它不是。
化简会把限制藏起来，而限制不会因为你写得漂亮就消失。
定义域是在你「串起来的那一刻」定下的，不是算完之后看式子长相定的。
两笔账在这里一起还。
第十六页链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ——「由外到内逐层求导」这个动作，
形状就是复合的层次结构本身。你之所以知道先求哪个再求哪个，是因为你能看出这台机器是怎么串起来的。
第十八页那个横跳的例子：g → 0 但 f(g(x)) 在 0 和 1 之间横跳，
所以极限不能随手换进去。病根是 f 在那一点是断的——
接口不光要「对得上」，还得「接得稳」。
ln(sin x) 的定义域怎么写？它在 x = 0 附近有定义吗？
要 sin x > 0，即 x ∈ (2kπ, (2k+1)π)，k 取任意整数。
x = 0 处没有定义（sin 0 = 0，ln 0 无意义），x = 0 是这一串区间的端点而不是内点。
⚠️ 所以「ln(sin x) 在 x=0 处的导数」这个问题问得就不对——
不是难算，是那里压根没有函数值。
这和第 3 幕那个洞是同一件事：先问在哪儿有定义，再问怎么算。
第 6 幕
初等函数：那张许可证的凭据在这儿
课本给出六类基本初等函数（幂、指、对、三角、反三角、常数），然后说：
由它们经有限次四则运算与有限次复合得到的，
叫初等函数。
这个定义看着像分类学，其实是一张封闭性声明：这六类都连续，而连续函数做四则运算、做复合之后还是连续的。
于是第十八页那张许可证有了凭据。
那一页说：初等函数在其定义区间内连续，所以求极限可以直接代入。
凭什么？因为它是由连续的零件、经保持连续的工序搭出来的。
你从中学起用了六年的「代进去算」，合法性一路追到这一节的这个定义。
⚠️ 但要小心「初等」这个词说的是什么。
e−x² 的原函数：它存在吗？存在（被积函数连续）。它连续吗？连续，而且光滑。
它是初等函数吗？不是。它写不成六类零件的有限次组合。
「初等」界定的是我们这套记号系统的能力，不是函数世界的边界。
这句话一次还三笔账。
第十二页：∫e−x²dx 积不出来——当时的措辞是「原函数存在，只是写不成初等函数」，今天你知道「初等」是什么了。
第二十页：可 ∫₋∞∞e−x²dx = √π——算不出原函数不等于算不出积分值。
第二十三页：缓和曲线的参数方程是菲涅尔积分，写不成初等函数，所以工程手册里只能查表。
三处「写不出来」，都不是数学的失败，是记号的边界。
把这三个问题分开回答：F(x) = ∫₀ˣ e−t²dt 是函数吗？连续吗？初等吗？
是函数——每个 x 对应一个确定的数（一块确定的面积），完全符合第 1 幕那三条。
连续，而且可导——由第十三页的微积分基本定理，F′(x) = e−x²。
不是初等函数——它写不成那六类零件的有限次组合（这有严格证明，不是「还没人找到」）。
⚠️ 三个问题的答案不一样，说明它们问的是三件不同的事。
把它们混成一句「这个积分算不出来」，是这一整套材料里最贵的一次含糊。
第 7 幕
为什么课本要从「集合与映射」起头
这一节的标题是「映射与函数」，可整本书几乎只谈函数。那「映射」两个字是干什么的？
函数是映射的一个特例：定义域是数集、值域也是数集的映射。那不是数集的呢？
第二十六页那张对照表，现在能说清它为什么成立了。
那一页把 L[y] = f 和矩阵的 Ax = b 并排放，说「叫法不同，事情完全一样」。
之所以一样，是因为它们是同一类东西：都是映射，而且都是线性映射。
L[C₁y₁ + C₂y₂] = C₁L[y₁] + C₂L[y₂] —— 把这行里的 L 换成 A、y 换成向量，一字不用改。
课本从集合和映射起头，不是严谨的仪式感。
它是在开头就告诉你：「函数」只是一个更大概念里最简单的那一格。
你翻过的这二十八页，走完的是那一格：一个数进、一个数出。
再往外一步就是别的格子——多元函数（定义域是平面）、级数（把一串数吃成一个数）、
拉普拉斯变换（把一个函数换成另一个函数）、泛函（把函数吃成数，用来找最优形状）。
它们全部沿用这一节的三条规矩。所以这一节读懂了，下一格就不必从零开始。
第 8 幕
整节话，就这三行
先有定义域，再有对应法则——1/x 那三个坑的病根，全在那个洞上
「一个 x 只对一个 y」是承重墙：反过来读就是反函数存在的条件（水平线最多切一次）
「初等」说的是记号的能力，不是函数的存在——写不出来 ≠ 算不出来
二十八页到这里走完了。
回头看这条链只干了一件事：每一页都在还前面某一页的债，同时给后面留一张新的欠条。
lim = ∞ 算不算存在（②埋 → ③还）、(tan x − sin x)/x³ 做三次（④错 → ⑩对 → ⑪比）、
dx 的身份（⑫⑬用 → ⑭补 → ⑮上岗）、验钞机与印钞机（⑤留 → ⑰画出来 → ⑱补上流水线）、
ex 是求导的不动点（⑯埋 → ㉗兑现成第七章的入场券）……
而这最后一页，还的是第一页那张最老的欠条：
「函数是一台机器」——那台机器的说明书，今天补齐了。
唯一的那条规矩，最后再说一次：
「我看懂了」这句话不作数。
作数的只有一句 ——「我能说出它在什么情况下会错」。
这二十八页给了你二十八组「会错的情况」。它们不是知识点，是你自学过的证据。
今 天 的 任 务
八道，最后一道是全书的收口题
这一页的题全是「先看定义域」的训练。八道里有五道，只要第一步不忘，就不会错。
- 写出 f(x) = √(x−1) / (x−3) 的定义域两条限制取交集：x ≥ 1 且 x ≠ 3
- ⚠️ 判断「1/x 在定义域上单调减」对不对，并写出一组具体反例第 3 幕第 ② 个开关。反例 x₁=−1, x₂=1。必须写出具体数字，不许只写「不对」
- ⚠️ f(x) = x² 在 R 上没有反函数。写出两种把它切开的方式，各写出对应的反函数切 [0,+∞) 得 √x；切 (−∞,0] 得 −√x。两个都要写
- 求 ln(sin x) 的定义域(2kπ, (2k+1)π)。答案是一串断开的区间，不是一个
- ⚠️ 取 f(u)=√u，g(x)=1−x²。写出 f(g(x)) 与 g(f(x))，各求定义域，并说一句为什么两个不一样√(1−x²) 定义域 [−1,1]；1−x 定义域 x ≥ 0。后者化简后看不出限制，这是命门
- 判断奇偶：x³ − x · |x|·x · ex + e−x · sin x + cos x奇、奇、偶、非奇非偶。第四个代 −x 算一遍就知道
- ⚠️ 常函数 f(x) ≡ 2 有周期吗？有最小正周期吗？并回答：课本定义里为什么要专门提「最小正周期」任何正数都是它的周期，所以没有最小的。「周期」和「最小正周期」是两个概念
- ⚠️ 全书收口题。对 F(x) = ∫₀ˣ e−t²dt 分开回答三问：是函数吗？连续吗？初等吗？最后写一句：「初等」这个词到底在说什么是 / 是（还可导）/ 不是。这三个答案不一样，正是这一页最想让你分清的事
第 8 题请把那句话用自己的话写完整，不许抄。
「初等」界定的是我们这套记号系统的能力，不是函数世界的边界——
这句话写下来，第十二页、第二十页、第二十三页那三处「写不出来」就一次全通了。
这是二十八页里最后一笔账，也是最值钱的一笔。
对完答案，每道错题旁只写一句：
我是忘了先看定义域、把限制化简掉了、把「不单调」写成了「递增」、混淆了存在与写得出，还是纯算错？