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第 1 幕
一份迟到了二十七页的定义
第一页就说过：函数是一台机器 ——扔一个 x 进去，出来一个 y。
这个说法你用了二十七页，从没觉得有问题。可课本第一节把它写得很死 ，死在三样东西上：
定义域 D · 对应法则 f · 一个 x 只对一个 y
当时读它像读一份没人看的用户协议。现在回头，这份协议的每一条你都撞过一次：
「一个 x 只能对一个 y」 → 第十九页：一个圆非得拆成上下两半 才能求导
撕开它的不是几何，是这条规矩 「先有定义域」 → 第二页 e1/x 、第二十页 ∫₀¹dx/x
1/x 在 0 处不是「值很大」，是压根没有值 ——两处的坑都在这儿 「单调」 → 第五页单调有界准则、第十五页第二类换元要求 φ 单调
不单调就换不回去 「奇偶」 → 第五页收网那一步：靠偶函数 把右极限搬成左极限
第一页那条「左右极限相等」的判据，第一次真正派上用场就在那里 「周期」 → 第二十七页：sin 求四次导回到原地
(sin x)⁽¹⁰⁰⁾ 只要看余数 「反函数」 → 第十六页：沿 y = x 翻折，斜率取倒数
这一页第 4 幕会补上「凭什么能翻」 「复合」 → 第十六页链式法则、第十五页凑微分
由外到内逐层求导，形状就是复合的层次 「初等函数」 → 第十八页那张许可证：初等函数在定义区间内连续
你从中学起就在用的「直接代入」，凭据在这一节
1.1 不是热身，是这本书的施工规范。 所以这一页不教新东西。它只做一件事：把二十七页里被绊倒的地方，一一指回它的出处。
第 2 幕
那条最狠的规矩：一个 x 只能对一个 y
这条看起来最像废话。试着违反它一次，你会看到整本书当场作废。
左：合法的机器，每个 x 上方只有一个点。右：允许一对多，f(2) 就不是一个数了
假设 f(2) 同时等于 3 和 5。那么：
后面二十七页的每一个概念，都建立在「f(x) 是一个确定的数」之上。 它是承重墙。抽掉它，上面全部垮。
第十九页那个圆，现在能给出完整解释了。 x² + y² = 25 上，x = 3 对应 y = 4 和 y = −4 两个值——它不是函数 。而隐函数求导凭什么能不拆？ 因为它只要求在你关心的那一点附近 能一对一（局部就够了）。而 (5, 0) 处连局部都做不到 ——那里上下两半黏在一起，所以 y′ = −x/y 在那点交白卷。那个「交白卷」，根源就在这条规矩上。
y² = x （开口朝右的抛物线）是函数吗？那 y = √x 呢？两者的图像差在哪？ y² = x 不是函数y = √x 是函数根号符号本身就自带「只取非负那个」的约定 。√(x²) = |x| 而不是 x ——这个高频失分点的根，也在这条规矩上 ：
如果 √ 允许返回两个值，它就不是一台合法的机器了。
第 3 幕
⚠️ 支点：课本那四条特性，用一个 1/x 就能全部戳穿
1.1 后半段讲函数的四条特性：有界、单调、奇偶、周期 。四条都长得像常识，四条都有坑。
前三个坑，共用同一个反例。四个开关点一遍：
① 有界：不说区间就没意义
② 单调：⚠️ 不许跨过那个洞
③ 奇偶：奇函数不一定过原点
④ 周期：可能没有最小正周期
前三个坑的病根是同一个：1/x 的定义域中间有个洞。 课本把「定义域」写在「对应法则」前面，不是排版顺序，是优先级。 先问「在哪儿有定义」，再问「怎么算」。
第二十页那道最经典的错题，今天才算真正说透。 ∫₋₁¹ dx/x² 硬套牛顿–莱布尼茨，算出 −2 ：正函数积出负数。现在可以说得更根本：那根本不是「一段」。 [−1, 1] 被 0 切成了两截，你在两截东西上用了一个只对一截成立的公式。 和第 ② 个开关里那个「单调」是同一个错：把断开的定义域当成了连通的。
「1/x 在它的定义域上是单调减函数」——这句话对不对？ 如果不对，请给出一组具体的 x₁ < x₂ 作为反例。
不对。 反例：取 x₁ = −1, x₂ = 1 。x₁ < x₂ ，可是 f(x₁) = −1 < f(x₂) = 1 ——x 变大，y 也变大，它涨了。 1/x 在 (−∞, 0) 上单调减，在 (0, +∞) 上也单调减，但在整个定义域上不单调。这就是「单调」这个词为什么必须挂在一个区间上 。
你在第九页用 f′ < 0 判递减时，判出来的永远只是某一个区间上 的结论——
因为那条许可证来自拉格朗日中值定理，而它要求区间是连通的 。
第 4 幕
反函数：那条规矩反过来读一遍
反函数要干的事是「给我 y，反推 x」 。那它就得满足同一条规矩——一个 y 只能对一个 x 。
怎么检查？画一条水平线扫过去，数交点。 只要有一条水平线切中两个点，反函数就不存在。
① sin x 在 R 上
② sin 切到 [−π/2, π/2]
③ x² 在 R 上
④ x² 切到 [0, +∞)
水平线 y =
于是 arcsin 的定义域和值域不是背的，是被这条规矩逼出来的。 sin 在整个 R 上一条水平线能切无穷多次，没得反 ；切成一段单调的 ——课本挑了 [−π/2, π/2] ，
于是 arcsin 的值域就是这一段。「严格单调 ⟹ 反函数存在」这句话，说的就是「水平线最多切一次」。
第十六页那面镜子，现在有了地基。 沿 y = x 翻折 ，对应点的斜率取倒数 （k ↔ 1/k）。当时是「怎么翻」，今天是「凭什么能翻」。 翻折要求横竖比例一样 ，否则镜像会歪——所以这两张图是等比例画的，
而 ①③ 两张为了看清波形是压扁的，那两张就没画翻折 。
arcsin 的值域为什么定在 [−π/2, π/2] ？改成 [π/2, 3π/2] 行不行？ 行——数学上完全成立。 sin 在 [π/2, 3π/2] 上严格单调（递减），一样能反。课本选 [−π/2, π/2] 只有两个理由 ：它包含 0（arcsin 0 = 0 ，好用），而且它是递增 的（和 sin 在原点附近的样子一致）。这是一次约定，不是一条定理。 arcsin(sin 2) ≠ 2 ，因为 2 不在 [−π/2, π/2] 里
（真值是 π − 2 ≈ 1.1416 ）。这道题在考卷上很常见，错的人都是忘了值域这个约定。
第 5 幕
复合：机器可以串联，但接口要对得上
f(g(x)) 就是把两台机器串起来：x 先进 g，g 的输出再进 f。
要串得起来，g 吐出来的东西必须是 f 吃得下的 ——也就是 g 的值域要落在 f 的定义域里 。
⚠️ 第三行是这一幕的命门。 g(f(x)) = 1 − x 看起来清清白白，定义域该是全体实数。但它不是。 化简会把限制藏起来，而限制不会因为你写得漂亮就消失。 定义域是在你「串起来的那一刻」定下的，不是算完之后看式子长相定的。
两笔账在这里一起还。 第十六页链式法则 ：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ——「由外到内逐层求导」这个动作，
形状就是复合的层次结构本身 。你之所以知道先求哪个再求哪个，是因为你能看出这台机器是怎么串起来的。第十八页那个横跳的例子 ：g → 0 但 f(g(x)) 在 0 和 1 之间横跳，
所以极限不能随手换进去 。病根是 f 在那一点是断的 ——
接口不光要「对得上」，还得「接得稳」。
ln(sin x) 的定义域怎么写？它在 x = 0 附近有定义吗？ 要 sin x > 0 ，即 x ∈ (2kπ, (2k+1)π) ，k 取任意整数。x = 0 处没有定义 （sin 0 = 0，ln 0 无意义），x = 0 是这一串区间的端点 而不是内点。ln(sin x) 在 x=0 处的导数」这个问题问得就不对 ——
不是难算，是那里压根没有函数值 。这和第 3 幕那个洞是同一件事 ：先问在哪儿有定义，再问怎么算。
第 6 幕
初等函数：那张许可证的凭据在这儿
课本给出六类基本初等函数 （幂、指、对、三角、反三角、常数），然后说：
由它们经有限次 四则运算与有限次 复合得到的，初等函数 。
这个定义看着像分类学，其实是一张封闭性声明 ：这六类都连续，而连续函数做四则运算、做复合之后还是连续的 。
于是第十八页那张许可证有了凭据。 初等函数在其定义区间内连续 ，所以求极限可以直接代入 。因为它是由连续的零件、经保持连续的工序搭出来的。 你从中学起用了六年的「代进去算」，合法性一路追到这一节的这个定义。
⚠️ 但要小心「初等」这个词说的是什么。 e−x² 的原函数：它存在吗？存在 （被积函数连续）。它连续吗？连续，而且光滑。 它是初等函数吗？不是。 它写不成六类零件的有限次组合。「初等」界定的是我们这套记号系统的能力，不是函数世界的边界。
这句话一次还三笔账。 第十二页 ：∫e−x² dx 积不出来——当时的措辞是「原函数存在，只是写不成初等函数」，今天你知道「初等」是什么了。第二十页 ：可 ∫₋∞∞ e−x² dx = √π ——算不出原函数不等于算不出积分值 。第二十三页 ：缓和曲线的参数方程是菲涅尔积分，写不成初等函数，所以工程手册里只能查表 。三处「写不出来」，都不是数学的失败，是记号的边界。
把这三个问题分开回答 ：F(x) = ∫₀ˣ e−t² dt 是函数吗？连续吗？初等吗？
是函数 ——每个 x 对应一个确定的数（一块确定的面积），完全符合第 1 幕那三条。连续，而且可导 ——由第十三页的微积分基本定理，F′(x) = e−x² 。不是初等函数 ——它写不成那六类零件的有限次组合（这有严格证明，不是「还没人找到」）。三个问题的答案不一样，说明它们问的是三件不同的事。 把它们混成一句「这个积分算不出来」，是这一整套材料里最贵的一次含糊。
第 7 幕
为什么课本要从「集合与映射」起头
这一节的标题是「映射与函数」，可整本书几乎只谈函数。那「映射」两个字是干什么的？
函数是映射的一个特例：定义域是数集、值域也是数集 的映射。那不是数集的呢？
第二十六页那张对照表，现在能说清它为什么成立了。 L[y] = f 和矩阵的 Ax = b 并排放，说「叫法不同，事情完全一样」。之所以一样，是因为它们是同一类东西：都是映射，而且都是线性映射。 L[C₁y₁ + C₂y₂] = C₁L[y₁] + C₂L[y₂] —— 把这行里的 L 换成 A、y 换成向量，一字不用改。
课本从集合和映射起头，不是严谨的仪式感。 「函数」只是一个更大概念里最简单的那一格 。一个数进、一个数出 。多元函数 （定义域是平面）、级数 （把一串数吃成一个数）、
拉普拉斯变换 （把一个函数换成另一个函数）、泛函 （把函数吃成数，用来找最优形状）。它们全部沿用这一节的三条规矩。所以这一节读懂了，下一格就不必从零开始。
第 8 幕
整节话，就这三行
先有定义域，再有对应法则 ——1/x 那三个坑的病根，全在那个洞上「一个 x 只对一个 y」是承重墙 ：反过来读就是反函数存在的条件（水平线最多切一次）「初等」说的是记号的能力，不是函数的存在 ——写不出来 ≠ 算不出来
二十八页到这里走完了。 每一页都在还前面某一页的债，同时给后面留一张新的欠条。 lim = ∞ 算不算存在（②埋 → ③还）、(tan x − sin x)/x³ 做三次（④错 → ⑩对 → ⑪比）、
dx 的身份（⑫⑬用 → ⑭补 → ⑮上岗）、验钞机与印钞机（⑤留 → ⑰画出来 → ⑱补上流水线）、
ex 是求导的不动点（⑯埋 → ㉗兑现成第七章的入场券）……而这最后一页，还的是第一页那张最老的欠条： 「函数是一台机器」——那台机器的说明书，今天补齐了。
唯一的那条规矩，最后再说一次： 「我看懂了」这句话不作数。 「我能说出它在什么情况下会错」。 它们不是知识点，是你自学过的证据。
今 天 的 任 务
八道，最后一道是全书的收口题
这一页的题全是「先看定义域」 的训练。八道里有五道，只要第一步不忘，就不会错。
写出 f(x) = √(x−1) / (x−3) 的定义域两条限制取交集：x ≥ 1 且 x ≠ 3
⚠️ 判断「1/x 在定义域上单调减」对不对，并写出一组具体反例 第 3 幕第 ② 个开关。反例 x₁=−1, x₂=1。必须写出具体数字，不许只写「不对」
⚠️ f(x) = x² 在 R 上没有反函数。写出两种把它切开的方式，各写出对应的反函数 切 [0,+∞) 得 √x；切 (−∞,0] 得 −√x。两个都要写
求 ln(sin x) 的定义域(2kπ, (2k+1)π)。答案是一串断开的区间，不是一个
⚠️ 取 f(u)=√u ，g(x)=1−x² 。写出 f(g(x)) 与 g(f(x))，各求定义域 ，并说一句为什么两个不一样√(1−x²) 定义域 [−1,1]；1−x 定义域 x ≥ 0。后者化简后看不出限制，这是命门
判断奇偶：x³ − x · |x|·x · ex + e−x · sin x + cos x 奇、奇、偶、非奇非偶。第四个代 −x 算一遍就知道
⚠️ 常函数 f(x) ≡ 2 有周期吗？有最小 正周期吗？并回答：课本定义里为什么要专门提「最小正周期」 任何正数都是它的周期，所以没有最小的。「周期」和「最小正周期」是两个概念
⚠️ 全书收口题。 对 F(x) = ∫₀ˣ e−t² dt 分开回答三问：是函数吗？连续吗？初等吗？ 最后写一句：「初等」这个词到底在说什么是 / 是（还可导）/ 不是。这三个答案不一样，正是这一页最想让你分清的事
第 8 题请把那句话用自己的话写完整 ，不许抄。「初等」界定的是我们这套记号系统的能力，不是函数世界的边界 ——这是二十八页里最后一笔账，也是最值钱的一笔。
对完答案，每道错题旁只写一句：忘了先看定义域 、把限制化简掉了 、把「不单调」写成了「递增」 、混淆了存在与写得出 ，还是纯算错 ？
课 本 习 题 · 1 - 1
同济第八版 P21 的十八道原题，逐题给解
这是全书第一节的习题，也是题量最大的一节 （十八道，近五十个小问）。它们只在反复问同一句话：这台机器的定义域、法则、单值，你说清楚了没有。 先在纸上做完，再点开对答案。
⚠️ 第 2 题和第 13 题是这一套的命门 ：只要定义域不同，法则再像也不是同一个函数 ；限制是「串起来的那一刻」定下的 。
第 1 题 求下列函数的自然定义域（十小问）：√(3x+2) (2) 1/(1−x²) (3) 1/x − √(1−x²) (4) 1/√(4−x²) (5) sin√x tan(x+1) (7) arcsin(x−3) (8) √(3−x) + arctan(1/x) (9) ln(x+1) (10) e1/x
「自然定义域」＝ 让式子有意义的全部 x。只有四条禁令 ：分母不为零 · 偶次根号内非负 · 对数真数为正 · arcsin/arccos 的自变量在 [−1,1]
⚠️ (2) 与 (4) 的差别是这一题的考点 ：1−x² 只在分母 ⇒ 只要求 ≠ 0 ；4−x² 既在根号内 又在分母 ⇒ 必须 > 0 （不能取等号）。(3)(8) 是「多条限制取交集」 ——每个部件各提各的要求，最后全部同时满足 。
漏掉 x ≠ 0 是最常见的失分点。
第 2 题 下列各组 f(x) 与 g(x) 是否相同？为什么？f = lg x² ，g = 2 lg x (2) f = x ，g = √(x²) f = ∛(x⁴−x³) ，g = x∛(x−1) (4) f = 1 ，g = sec²x − tan²x
两个函数相同 ⟺ 定义域相同 且 对应法则相同。 两条缺一不可——这就是这道题的全部内容。
(1) 不同（定义域不同） ：f = lg x² 要求 x² > 0 ，即 x ≠ 0 ；g = 2 lg x 要求 x > 0 。在 x < 0 上 f 有定义而 g 没有 ，所以不是同一个函数。lg x² = 2 lg|x| 。）
(2) 不同（法则不同） ：定义域都是 R ，但 √(x²) = |x| 。x = −1 时 f = −1 而 g = 1 。
(3) 相同 ：∛(x⁴−x³) = ∛(x³(x−1)) = x∛(x−1) 。奇次根号对负数也有定义 ，两者定义域都是 R ，法则也一致。
(4) 不同（定义域不同） ：sec²x − tan²x = 1 确实恒成立，但 g 要求 cos x ≠ 0 ，即 x ≠ kπ + π/2 ；而 f = 1 在整个 R 上有定义。
相同的只有 (3)；(1)(4) 栽在定义域，(2) 栽在法则。
⚠️ (1) 和 (4) 是同一个圈套的两种化装 ：代数恒等式成立，不代表函数相同 ——
因为恒等式只在两边都有定义的地方 成立。化简会悄悄扩大定义域，这是整本书里最持久的一个坑 （第 5 幕那个 g(f(x)) = 1−x 就是它的复合版）。
第 3 题 设 φ(x) = |sin x| （|x| < π/3 ），0 （|x| ≥ π/3 ）。求 φ(π/6), φ(π/4), φ(−π/4), φ(−2) ，并作图。
分段函数求值只有一步：先判断这个 x 落在哪一段。 （π/3 ≈ 1.047 ）
图形 ：在 (−π/3, π/3) 内是 |sin x| 的一段「V 形」 （在 0 处触底为 0，两侧升到 sin(π/3) = √3/2 ）；
区间之外恒为 0 。在 x = ±π/3 处图形从 √3/2 直接掉到 0 —— 那是两个跳跃断点。
1/2 、√2/2 、√2/2 、0
⚠️ φ(−2) 那一问是在检查你有没有真的比大小 ：|−2| = 2 ，而 π/3 ≈ 1.05 ，
所以落在第二段。看到负数就往第一段代，是这道题唯一会错的地方。
第 4 题 讨论有界性：(1) f(x) = x/(1+x²) (2) f(x) = (1+x²)/(1+x⁴)
(1) 有界，且 |f| ≤ 1/2 。 1 + x² ≥ 2|x| （因为 (|x|−1)² ≥ 0 ）。|f| = |x|/(1+x²) ≤ |x|/(2|x|) = 1/2 （x ≠ 0 ；x = 0 时 f = 0 ）。界能取到 ：x = 1 时 f = 1/2 ，x = −1 时 f = −1/2 。
(2) 有界，且 0 < f ≤ (√2+1)/2 ≈ 1.207 。 t = x² ≥ 0 ，则 f = (1+t)/(1+t²) 。t² + 2t − 1 = 0 ，取正根 t = √2 − 1 。(√2+1)/2 。又 f > 0 恒成立，x → ∞ 时 f → 0 。
两个都有界。(1) |f| ≤ 1/2 ；(2) 0 < f ≤ (√2+1)/2 。
⚠️ 「有界」只要求找到一个 界，不必是最好的那个。 1+x² ≤ 1+x²+x⁴ … 这类粗放估计，能得出 f ≤ 2 之类的结论就足够回答「是否有界」。本题给出精确上界，是顺带的。区分「证明有界」和「求最值」是两个任务。
第 5 题 证明单调性：(1) y = x/(1−x) 在 (−∞, 1) 内 (2) y = x + ln x 在 (0, +∞) 内
这一节还没学导数，所以只能用定义：任取 x₁ < x₂，比较 f(x₁) 与 f(x₂)。
(1) 任取 x₁ < x₂ < 1 ，作差：y₂ − y₁ = x₂/(1−x₂) − x₁/(1−x₁) = [x₂(1−x₁) − x₁(1−x₂)] / [(1−x₁)(1−x₂)] = x₂ − x₁x₂ − x₁ + x₁x₂ = x₂ − x₁ > 0 ；(1−x₁)(1−x₂) > 0 （两个因子都为正，因为 x₁, x₂ 都小于 1 ）。y₂ > y₁ ，单调增加 。
(2) 任取 0 < x₁ < x₂ 。则 x₁ < x₂ ，且 ln 在 (0,+∞) 上单调增 ⇒ ln x₁ < ln x₂ 。两个单调增函数相加还是单调增 ：x₁ + ln x₁ < x₂ + ln x₂ 。
两个都单调增加 。
⚠️ (1) 里「分母为正」那一步用足了区间条件。
如果不限定在 (−∞,1) 内，而是跨过 x = 1 去比，分母会变号，结论立刻失效——和 1/x 那个「不许跨洞」是完全同一件事 （本页第 3 幕第 ② 态）。
第 6 题 讨论单调性：(1) f = ax² + bx + c （a ≠ 0 ） (2) f = (ax+b)/(cx+d) （c > 0 ）
(1) 配方看顶点 ：f = a(x + b/(2a))² + (4ac−b²)/(4a) ，对称轴 x = −b/(2a) 。a > 0 ：在 (−∞, −b/2a) 上单调减，在 (−b/2a, +∞) 上单调增；a < 0 ：反过来（先增后减）。
(2) 分离常数 ：f = a/c + (bc − ad) / [c(cx+d)] 。x = −d/c 切成两支，只能在每一支上讨论 。bc − ad > 0 ：1/(cx+d) 在每支上递减 ⇒ f 在每支上单调减 ；bc − ad < 0 ：f 在每支上单调增 ；bc − ad = 0 ：f ≡ a/c ，常数，不单调也不算增减 。
(1) 以对称轴为界，一减一增（a>0 ）或一增一减（a<0 ）。bc−ad 的符号；且必须分两支说 。
⚠️ (2) 最容易写错的地方是「在整个定义域上单调减」这句话。 不成立 ——跨过 x = −d/c 那个洞去比，结论会反过来。这就是这一页第 3 幕拿 1/x 反复敲的那颗钉子，这里换了一般形式再敲一次。
第 7 题 设 f 是 (−l, l) 内的奇函数，若 f 在 (0, l) 内单调增加，证明 f 在 (−l, 0) 内也单调增加。
思路：把左边的两点翻 到右边去比，再用奇性翻回来。
任取 −l < x₁ < x₂ < 0 。取相反数（不等号方向反转 ）：0 < −x₂ < −x₁ < l
这两个点都落在 (0, l) 内，由那里的单调增：f(−x₂) < f(−x₁)
由 f 是奇函数，f(−x) = −f(x) ：−f(x₂) < −f(x₁) ⇒（两边同乘 −1，不等号再反一次 ）⇒ f(x₁) < f(x₂)
即 x₁ < x₂ 时 f(x₁) < f(x₂) ，在 (−l, 0) 内单调增加 。
不等号反了两次 ，方向回到原样——这就是「奇函数两侧同增」的原因。
⚠️ 换成偶函数，结论就变了 ：偶函数 f(−x) = f(x) ，最后一步不用乘 −1，
不等号只反了一次 ⇒ 右边增则左边减 （想想 x² ）。奇偶性决定的正是「翻过去之后要不要再翻回来」。
第 8 题 证明：(1) 两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；(2) 偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×奇＝奇。
全部只需把 −x 代进去算一遍。 设 F 是待判的函数。
(1) 和 ：设 f, g 都偶，F = f + g ：F(−x) = f(−x) + g(−x) = f(x) + g(x) = F(x) ⇒ 偶 。f, g 都奇：F(−x) = −f(x) − g(x) = −F(x) ⇒ 奇 。
(2) 积 ：设 F = f · g ：F(−x) = f(x)g(x) = F(x) ⇒ 偶 ；F(−x) = (−f(x))(−g(x)) = f(x)g(x) = F(x) ⇒ 偶 （负负得正 ）；F(−x) = f(x)(−g(x)) = −F(x) ⇒ 奇 。
积的规律和符号相乘 一模一样：把「偶」看成 + 、「奇」看成 − ，
偶×奇 = −、奇×奇 = + 。
⚠️ 和就没有这么好的规律 ：偶 + 奇一般既不奇也不偶 （比如 x² + x³ ）。定义域必须关于原点对称 ，否则 f(−x) 可能根本没定义——
这就是课本为什么特意说「都定义在 (−l, l) 上」。
第 9 题 判断奇偶性：(1) x²(1−x²) (2) 3x² − x³ (3) (1−x²)/(1+x²) (4) x(x−1)(x+1) (5) sin x − cos x + 1 (6) (ax + a−x )/2
方法只有一个：算 f(−x)，跟 f(x) 和 −f(x) 比。
偶：(1)(3)(6)；奇：(4)；非奇非偶：(2)(5)。
⚠️ (2)(5) 都是「奇项 + 偶项混在一起」 ——用第 8 题的结论一眼可判：
3x² 偶、x³ 奇，偶 + 奇一般什么都不是 。(6) 有个名字 ：a = e 时它就是双曲余弦 cosh x ，
后面讲双曲函数时会正式见到，它是偶函数这件事这里就已经证完了 。
第 10 题 哪些是周期函数？周期是多少？cos(x−2) (2) cos 4x (3) 1 + sin πx (4) x cos x (5) sin²x
基本规律：sin(ωx) 、cos(ωx) 的最小正周期是 2π/|ω| ；平移和上下移动都不改变周期。
(1) 只是把 cos x 右移 2 个单位 ⇒ 周期 2π 。(2) ω = 4 ⇒ 周期 2π/4 = π/2 。(3) ω = π ⇒ 周期 2π/π = 2 （加常数 1 不影响）。(4) 不是周期函数 ：振幅随 |x| 一起长大（x = 2kπ 处值为 2kπ ），
平移任何距离都不可能与自己重合 。(5) 用降幂公式：sin²x = (1 − cos 2x)/2 ，ω = 2 ⇒ 周期 π 。
(1) 2π (2) π/2 (3) 2 (4) 非周期 (5) π
⚠️ (5) 是这道题唯一的坑 ：sin x 的周期是 2π ，
但平方之后周期减半变成 π ——因为平方把负半段翻上去了，图形提前重复。别想当然地认为「函数复合后周期不变」，老老实实降幂或者画图。
第 11 题 求反函数：(1) y = ∛(x+1) (2) y = (1−x)/(1+x) (3) y = (ax+b)/(cx+d) （ad−bc ≠ 0 ）y = 2sin 3x （−π/6 ≤ x ≤ π/6 ） (5) y = 1 + ln(x+2) (6) y = 2x /(2x +1)
套路固定三步：把 x 解出来 → 交换 x、y 的名字 → 写清新的定义域。
(1) y³ = x+1 ⇒ x = y³ − 1 。反函数 y = x³ − 1 （定义域 R ）。
(2) y(1+x) = 1−x ⇒ x(y+1) = 1−y ⇒ x = (1−y)/(1+y) 。y = (1−x)/(1+x) （x ≠ −1 ）——它和自己互为反函数 。
(3) y(cx+d) = ax+b ⇒ x(cy−a) = b−dy ⇒ x = (b−dy)/(cy−a) 。y = (−dx+b)/(cx−a) （x ≠ a/c ）。
(4) sin 3x = y/2 ⇒ 3x = arcsin(y/2) ⇒ x = (1/3)arcsin(y/2) 。y = (1/3)arcsin(x/2) ，定义域 [−2, 2] 。正是因为题目把 x 限制在了 [−π/6, π/6] ——那里 3x ∈ [−π/2, π/2] ，sin 严格单调。
(5) ln(x+2) = y−1 ⇒ x = ey−1 − 2 。反函数 y = ex−1 − 2 （定义域 R ）。
(6) y(2x +1) = 2x ⇒ 2x (y−1) = −y ⇒ 2x = y/(1−y) ⇒ x = log₂[y/(1−y)] 。反函数 y = log₂[x/(1−x)] ，定义域 (0, 1) 。
⚠️ (4) 和 (6) 的定义域是这道题真正的分值所在。 定义域＝原函数的值域 ：(4) 里 2sin3x 的值域是 [−2,2] ；
(6) 里 2x /(2x +1) 的值域是 (0,1) 。只写表达式不写定义域，这道题只能算做了一半 ——第 4 幕的水平线检验说的就是这件事。
第 12 题 求复合函数，并求在 x₁, x₂ 处的值（六小问）。
五问的复合结果依次是 sin²x、sin 2x、√(1+x²)、ex² 、e2x
（与课本答案逐条一致）
⚠️ 关于小问个数 ：课本这一题是 5 个小问 。y=√u, u=x², x₁=1, x₂=1 ——
两个自变量值居然一样，这本身就说明它是 OCR 产生的伪题 ；
初版照抄进来了，现已对照课本答案区删掉 。）√(x²) = |x| ，
第 2 题的 (2) 已经正面考过一次了 。
第 13 题 设 f 的定义域 D = [0,1] ，求下列函数的定义域：f(x²) (2) f(sin x) (3) f(x+a) （a>0 ） (4) f(x+a) + f(x−a) （a>0 ）
唯一的规则：把括号里那一整块，逼进 [0,1]。
(1) 要 0 ≤ x² ≤ 1 ⇒ |x| ≤ 1 ⇒ [−1, 1] 。
(2) 要 0 ≤ sin x ≤ 1 ，即 sin x ≥ 0 ⇒ [2kπ, 2kπ+π] （k 为整数）。定义域是一串断开的闭区间 ，不是一个。
(3) 要 0 ≤ x+a ≤ 1 ⇒ [−a, 1−a] （整体左移了 a）。
(4) 两个条件同时 成立，取交集 ：f(x+a) 要求 −a ≤ x ≤ 1−a ；f(x−a) 要求 a ≤ x ≤ 1+a 。[a, 1−a] ，它非空的条件是 a ≤ 1/2 。⇒ 当 0 < a ≤ 1/2 时定义域是 [a, 1−a] ；当 a > 1/2 时定义域为空集 ，函数根本没法定义。
(1) [−1,1] (2) [2kπ, 2kπ+π] (3) [−a, 1−a] (4) a ≤ 1/2 时 [a, 1−a]；否则空集
⚠️ (4) 必须分情况 回答 ，只写 [a, 1−a] 是不完整的——
a 一大，这个「区间」左端比右端还大，那就不是区间了。凡是答案里带参数的题，都要问一句：参数取什么值时我的答案还成立？
第 14 题 设 f(x) = 1（|x|<1）, 0（|x|=1）, −1（|x|>1） ，g(x) = ex 。求 f[g(x)] 与 g[f(x)] 并作图。
复合的顺序决定一切：先看谁被扔进谁。
f[g(x)] = f(ex ) ：要按 ex 与 1 的大小分段。注意 ex > 0 恒成立，所以 |ex | = ex ：ex < 1 ⇔ x < 0 ⇒ 值 1 ；ex = 1 ⇔ x = 0 ⇒ 值 0 ；ex > 1 ⇔ x > 0 ⇒ 值 −1 。图形：一个「阶梯」，在 x=0 处从 1 掉到 −1，中间孤零零一个点落在 0 上。
g[f(x)] = ef(x) ：f 只取三个值，指数就只有三个结果：|x| < 1 ⇒ e¹ = e ；|x| = 1 ⇒ e⁰ = 1 ；|x| > 1 ⇒ e−1 = 1/e 。图形：中间一段高 e，两端低 1/e，在 x=±1 处各有一个孤立点落在 1 上。
两个复合函数都是分三段的阶梯 ，但断点位置完全不同：
f[g(x)] 断在 x = 0 ，g[f(x)] 断在 x = ±1 。
⚠️ 复合不可交换。 这道题把它演示得最彻底——同样两台机器，串联顺序一换，图形完全是两回事。 做 f[g(x)] 时最容易漏的是「先看 g 的值域」 ：这里 ex > 0 ，
所以 f 的「|·| 」其实用不上，直接跟 1 比大小即可。
第 15 题 等腰梯形水渠，斜角 φ = 40° ，过水断面面积为定值 S₀ 。求湿周 L = AB + BC + CD 与水深 h 的函数关系及定义域。
先把几何量用 h 和底宽表示出来。 设渠底宽 BC = b 。
两腰 ：斜角 40°，竖直高 h ⇒ 腰长 AB = CD = h/sin40° ；水平投影 = h/tan40° = h·cot40° 。
面积 （梯形＝(上底+下底)×高÷2，上底 = b + 2h cot40° ）：S₀ = [b + (b + 2h cot40°)]·h/2 = (b + h cot40°)·h ⇒ b = S₀/h − h·cot40°
湿周 ：L(h) = 2h/sin40° + b = 2h/sin40° + S₀/h − h·cot40° 1/sin40° ≈ 1.5557 ，cot40° ≈ 1.1918 ）：L(h) ≈ S₀/h + 1.9196·h
定义域 ：必须 b > 0 ，即 S₀/h > h cot40° ⇒ h² < S₀ tan40° ⇒ 0 < h < √(S₀ · tan40°) ≈ √(0.8391 S₀)
L(h) = S₀/h + (2/sin40° − cot40°)h ，0 < h < √(S₀ tan40°) 。
⚠️ 定义域这一问才是这道应用题的重点。 纯代数地看，L(h) 对任何 h > 0 都有意义；
可 h 一大，算出来的渠底宽 b 就成了负数——那不是渠道，是没有实物意义的式子。 建模题的定义域来自现实，不来自公式。
第 16 题 正方形 D = {0≤x≤1, 0≤y≤1} 与直线 l: x+y=t （t≥0 ）。S(t) 表示 D 位于 l 左下方部分的面积，求 S(t) 。
让直线从原点往右上平移，看它扫过正方形的过程 ——分四段。
① 0 ≤ t ≤ 1 ：直线切下左下角一个等腰直角三角形 ，两直角边都是 t ：S(t) = t²/2
② 1 < t ≤ 2 ：直线已经越过正方形，剩下没被覆盖的是右上角的三角形 ，两直角边都是 2−t ：S(t) = 1 − (2−t)²/2
③ t > 2 ：整个正方形都在左下方，S(t) = 1 。
检查接缝 ：t=1 时 ① 给 1/2 ，② 给 1 − 1/2 = 1/2 ✓；
t=2 时 ② 给 1 ，③ 给 1 ✓。
S(t) = t²/2 （0≤t≤1 ）；1 − (2−t)²/2 （1<t≤2 ）；1 （t>2 ）
⚠️ ② 用的是「补集法」 ：直接算被覆盖的五边形很麻烦，
算「没被覆盖的那个小三角形」再拿总面积去减，只要一行。 写完分段函数一定要验接缝 ——两段在交界处算出同一个数，是这类题最省事的自查手段。
第 17 题 求华氏温度 F 与摄氏温度 C 的转换公式；(1) 求 90°F 对应的摄氏度、−5°C 对应的华氏度；(2) 是否存在一个温度使两种读数相同？
建立关系 ：两个刻度都是线性的，用两个已知点定一条直线——0°C = 32°F ，沸点 100°C = 212°F 。= (212−32)/(100−0) = 180/100 = 9/5 ，故F = (9/5)C + 32 ，反过来 C = (5/9)(F − 32)
(1) 90°F ⇒ C = (5/9)(90−32) = (5/9)·58 = 290/9 ≈ 32.2°C −5°C ⇒ F = (9/5)(−5) + 32 = −9 + 32 = 23°F
(2) 存在。 令 F = C ，代入公式：C = (9/5)C + 32 ⇒ C − (9/5)C = 32 ⇒ −(4/5)C = 32 ⇒ C = −40 即 −40°C = −40°F ，这是唯一一个两种温标读数相同的温度。
(1) 290/9 ≈ 32.2°C ；23°F (2) 存在，−40°
⚠️ (2) 的几何意义 ：两条直线 F = (9/5)C+32 与 F = C 的交点。两条直线必相交且只交一次 —— 所以答案「存在且唯一」是可以事先断言的，
不必等算完才知道。
第 18 题 Rt▵ABC 中直角边 AC = 20 、BC = 15 。P 从 C 沿 C→B→A 移动，Q 从 C 沿 C→A→B 移动，Q 的速度是 P 的 2 倍，到两点相遇为止。设 P 移动距离为 x ，▵CPQ 面积为 y ，求 y 与 x 的关系。
先把舞台量清楚 ：AB = √(20²+15²) = 25 ，周长 = 60 。x ，Q 走 2x ，两人相向绕行，相遇时 x + 2x = 60 ⇒ x = 20 。故 0 ≤ x ≤ 20 。
再看两人各自什么时候拐弯 ：CB 上直到 x = 15 ；Q 在 CA 上直到 2x = 20 ，即 x = 10 。两个拐点把 [0,20] 切成三段。
① 0 ≤ x ≤ 10 （P 在 CB，Q 在 CA，夹角是直角 ）：CP = x ，CQ = 2x ⇒ y = ½ · x · 2x = x²
② 10 < x ≤ 15 （P 仍在 CB，Q 已拐上 AB）：CP = x 为底，高＝Q 到直线 CB 的距离。2x−20 ；A 到 CB 的距离是 AC = 20 ，B 到 CB 的距离是 0，按比例线性递减 ：= 20·(1 − (2x−20)/25) = 4(45−2x)/5 y = ½ · x · 4(45−2x)/5 = 2x(45−2x)/5
③ 15 < x ≤ 20 （两人都在 AB 上 ）：PQ 为底，高＝C 到 AB 的距离 = (20×15)/25 = 12 （直角三角形斜边上的高）。25 − (x−15) = 40−x ，Q 距 A 为 2x−20 ；PQ = (40−x) − (2x−20) = 60 − 3x y = ½ · (60−3x) · 12 = 360 − 18x
验接缝 ：x=10 ：① 得 100，② 得 2·10·25/5 = 100 ✓x=15 ：② 得 2·15·15/5 = 90 ，③ 得 360−270 = 90 ✓x=20 ：③ 得 0 ✓（两点重合，三角形退化）
y = x² （0≤x≤10 ）；2x(45−2x)/5 （10<x≤15 ）；360−18x （15<x≤20 ）
⚠️ 这道题是整节的压轴，难的不是算，是分段 。
三条分界线各有出处：Q 拐弯（x=10）、P 拐弯（x=15）、两人相遇（x=20） 。先把「什么时候发生什么」列清楚，再逐段算 ——顺序反了必乱。接缝检验必须做 ：三段在 x=10、15 处都接得上，这基本就保证了没算错。
十八道做完，回头看它们其实只在问三件事：定义域（1、8、13、15） · 那条「一个 x 只对一个 y」的规矩（2、11、12） · 四条特性（4、5、6、7、9、10） 。这正是这一页第 1 幕列的那张清单 ——课本在第一节就把整本书的施工规范全考了一遍，
只是当时你还不知道每一条日后会在哪儿绊你。