同 济 高 数 · 第 一 章

极限入门五页
学习路径

这六份有先后顺序。不要跳着看——后面每一份都靠前面那份撑着。

唯一的规矩:「我看懂了」这句话不作数。
作数的只有一句 ——「我能说出它在什么情况下会错」。
第 一 步 · 先看图

左右极限:它到底是来解决什么问题的

八幕图形叙事。不讲定义,只讲一件事:不发明这个东西,我们会卡在哪里。两处可以动手拖。

结尾 6 道题,只画图,一个 ε 都不许写
第 二 步 · 立刻拿去用

间断点分类:为什么非要分成四种

把刚学的左右极限,用来给"坏点"分门别类。核心是一个可以拖的实验:这个断点,你能不能只动一个点就修好。

成品是一张决策树,学完要能合上书默画出来
第 三 步 · 收账

无穷小与无穷大:给"忽略"一个合法身份

专治两件事:把无穷小当成"很小的数",以及上一页多半栽过的「lim = ∞ 到底算不算存在」。从单摆方程凭什么把 sin θ 换成 θ 讲起。

两处动手:拖门槛 M、拖砖块数 n,看一座永远一米高的塔
第 四 步 · 把快慢量化

无穷小的比较:把"消失得更快"变成一个数

比无穷小要用除法,不能用减法。四个商对应四个名字。核心是一道人人踩的坑题——等价替换在加减法里为什么必错。

两处动手:拖 x 看四个商分头跑,拖步长看一阶和四阶差四千倍
第 五 步 · 还账

两个重要极限:从验钞机到印钞机

前面那张等价无穷小表一直是赊来的。这一页用单位圆把 sin x / x = 1 挤出来,再用单调有界给 e 开出生证明。

两处动手:拖单位圆看三块面积靠拢,拖 n 看它爬向 e 却撞不破 3
配 套 · 这时候才写符号

左右极限 · 深度学习资料

ε-δ 定义逐个限定词拆开、崩坏测试、识别信号、双向证明、例题与速查表。前五步走完再来,符号才有地方挂。

含 12 张配图 · 篇幅较长,建议分两次读
全部图里的颜色约定是同一套,看图不用读字:
橙色 = 从左边来 · 蓝色 = 从右边来